行列群の問題について

質問

群の問題でわからない問題があるので教えていただけないでしょうか

素体F_p上の特殊線形群SL(3,F_p)={g∈M_3(F_p) | det(g)=1}を考える
(1)位数|SL(3,F_p)|はいくつか
(2)p-sylow部分群の例を一つ挙げよ

以上です。よろしくお願いします。

回答No.3

26803TT519 · ベストアンサー

まず、| GL(3, F_p) | = (p^3 - 1) * (p^3 - p) * (p^3 - p^2) は理解できますか。

次に、写像 f : GL(3, F_p) → F_p - {0} を f(g) = det g で定義します。
以下の3点は、理解できますか。
1. f は準同型写像である
2. f は全射である
3. Ker f = SL(3, F_p)

準同型定理より、GL(3, F_p)／SL(3, F_p) と Im f = F_p - {0} は同型です。
よって、| GL(3, F_p)／SL(3, F_p) | = | GL(3, F_p) |／| SL(3, F_p) | = | F_p - {0} | = p - 1
これより、| SL(3, F_p) | が求まります。

お礼

1，2，3については理解できます。その後の準同型定理の話も理解できました!
しかし、最初の|GL(3,F_p)|についてわかりません。（No.1の方のWikipediaの公式からはわかるのですが、その公式がなぜ成り立つかわかりません。）
もし、よろしければ、一般線形群の位数の公式についても教えていただけないでしょうか...

補足

先ほどお礼にて、一般線形群の位数がわからないと書きましたが、解決することができました。
わかりやすく書いていただき大変ありがとうございました。
ベストアンサーにさせていただきます。

回答No.2

26803TT519

(1) |SL(3, F_p)| = p^3 * (p + 1) * (p - 1)^2 * (p^2 + p + 1)

(2) SL(3, F_p) の元のうち、対角成分がすべて 1 の上3角行列すべてから成る、位数 p^3 の部分群

お礼

回答ありがとうございます。
(1)より(2)についてはわかるのですが、
(1)がどのように求められたのか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

ask-it-aurora

Wikipediaの一般線型群の項を見れば，そこから類推でわかるでしょう．（答え合わせの為のヒント：p = 2 のときは，そこにあるものと同じ．）

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/一般線型群

お礼

回答ありがとうございます。
一般の場合はわかったのですが、やはり特殊の場合がわかりません。
詳しい途中計算を教えていただけないでしょうか。