数学 軌跡

質問

円C:(x-2)2乗+y2乗=2
直線E:y=gx(gは実数の定数)について

(1)円Cと直線Eが異なる2点PQで交わる時、gの取りうる値の範囲を求めよ。

(2) (1)の時、線分PQの中点が描く軌跡を求めよ。 解説お願いします（ ; ; ）

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｙ＝ｇｘを円Ｃの式に代入して
（ｘ－２）＾２＋ｇ＾２ｘ＾２＝２
（ｇ＾２＋１）ｘ＾２－４ｘ＋２＝０　・・・（あ）
ＣとＥが異なる二点で交わるということは、ｘの二次方程式（あ）が異なる二つの実数解を
持つということです。よって判別式Ｄ＞０とおいてｇについて解けばＯＫです。
Ｄ＝１６－８（ｇ＾２＋１）
　＝８－８ｇ＾２＞０
ｇ＾２＜１
よって　－１＜ｇ＜１

点ＰおよびＱのｘ座標は、二次方程式（あ）を解くことにより求められますが、
線分ＰＱの中点（Ｒとします）のｘ座標は（あ）の二つの解の平均になります。（あ）の二つの解を
（ａ±√ｂ）／ｃ　とすると、これらの平均はａ／ｃですから、Ｒのｘ座標は
ｘ＝４／（２（ｇ＾２＋１））＝２／（ｇ＾２＋１）
となります。これをｇについて解くと
ｘ（ｇ＾２＋１）＝２
ｘｇ＾２＝２－ｘ
ｇ＝±√（（２－ｘ)／ｘ）　・・・（い）
Ｒは直線Ｅ上の点なので（い）をＥの式に代入して
ｙ＝±ｘ√（（２－ｘ)／ｘ）
　＝±√（ｘ（２－ｘ））
ｙ＾２＝－ｘ＾２＋２ｘ
（ｘ－１）＾２＋ｙ＾２＝１　・・・（う）
ここで　ｘ（ｇ＾２＋１）＝２　であり　－１＜ｇ＜１　なので、ｘ＝２／（ｇ＾２＋１）
なのでｘの範囲は１＜ｘ＜２となりそうですが、ｘ＝２、ｙ＝０の時も条件は満たされるので
１＜ｘ＜＝２がｘの範囲となります。よって求める軌跡は、
（１，０）を中心とする半径１の円周のうち、１＜ｘ＜＝２の部分
ということになります。

お礼

ありがとうございます！
軌跡、とてもよく分かりました(*^^*)

回答No.3

gohtraw

＃１です。しまった。嘘書いた。
－１＜ｇ＜１より素直に１＜ｘ＜＝２としていいのだった。

回答No.2

info22_

(1)
円Cは中心(2,0),半径√2の円だから、直線E：gx-y=0が円Cと2点P、Qで交わるための条件は、「円Cの中心(2,0)と直線Eとの距離dが円Cの半径未満であること」であるから
d=|g*2-0|/√(g^2+1)＜√2
2g/√(g^2+1)＜√2
4(g^2)/(g^2+1)＜2
2g^2＜g^2+1
g^2＜1
∴-1＜g＜1 ...(A)　←　答え

(2)
点P(p,gp),Q(q,gq)は連立方程式の2実解から得られる。
(x-2)^2+y^2=2 ...(B)
y=gx ...(C)

(B),(C)から
(1+g^2)x^2-4x+2=0 ...(D)
(1)で求めた-1<g<1の範囲で
判別式D/4=4-2(1+g^2)=2(1-g^2)>0
成り立っているから異なる2実解をもつ。
解と係数の条件から
p+q=4/(1+g^2)...(E), pq=2/(1+g^2) ...(F)
(-1<g<1)

線分PQの中点Mの座標を(x,y)とすると
x=(p+q)/2=2/(1+g^2) ...(G),
y=(gp+gq)/2=2g/(1+g^2) ...(H)

(G),(H)からgを消去して

x^2+y^2=4/(1+g^2)=2x
(x-1)^2+y^2=1　...(I)
(A)なので(G)から
∴1<x≦2　...(J)

PQの中点(x,y)の軌跡は(I),(J)より
　(x-1)^2+y^2=1 (1<x≦2) ←答え