三角関数の合成？

質問

sinθ+(√3)cosθ
＝2(1/2 sinθ　+　(√3)/2 cosθ）
このあと
＝2(sinθcosπ/3 + cosθsinπ/3)
どうしてこのように変形できるのかが分かりません・・・。
そのあとは加法定理でまとめればいいことは分かります。
おねいがいします

回答No.7

noname#47050 · ベストアンサー

加法定理を使えるようにするために、何らかの角αを使って、
cosα=1/2
sinα=√3/2
になるようにαを定める必要があります。このような角度はα=π/3ですね。ここの部分の変形を詳しく表現すると、
与式＝2(1/2*sinθ+√3/2*cosθ)
ここで
cosα=1/2
sinα=√3/2
となるような角αを用いると与式は以下のように変形できる。
与式＝2(cosα*sinθ+sinα*cosθ)
αを実際に求めるとα=π/3+2nπ（n:整数）
ここではαは上の条件式を満たすなら何でもよいので、簡単のためn=0つまりα=π/3とする。

∴与式＝2(sinθcosπ/3 + cosθsinπ/3)

念のために説明しておきますが「ほんとーに上の条件式を満たすαはどんな場合でも必ず求められるんかい？存在しないかも知れないじゃないか！」と疑問に思うかも知れませんが必ず存在します、ていうか存在するように変形しているのです。それが、ひとつ上の式
2(1/2 sinθ　+　(√3)/2 cosθ）
です。先頭の２でくくり出しているのがポイントです。この２はどうして出て来たのかというと
√{(1)^2+(√3)^2}=2
この２で各係数を割り算することにより、係数を二乗して足し算すれば１になるようになります。これ、つまりsinとcosの関係ですね？

お礼

なるほど～！　そういうことですよね！
理解が深まりました！
これって・・・　三平方の定理のようなものを単位円で考えてみるって感じですかね。
1=cosx^2+sinx^2　のような。　なっとくしましたありがとうございます！

回答No.6

noname#69788

πは円周率ですか。

お礼

この記号πは円周率のことですなんて断りはいちいちしませんよね
数学では既知とされている記号なのではないんですか？
それともラジアン表示か否かということでしょうか？
これも物理学ではなく、数学ではradの省略は一般的なんではないでしょうか・・・？

回答No.5

kakkysan

三角関数の合成公式の発想

(1) asinθ+bcosθ の形から a,b がrcosθ, rsinθ とできれば加法定理が使えて sin だけ（あるいはcosだけ）の式にする事が出来る。

(2)そこでxy平面上に点P（ａ，ｂ）をとり
x軸とOPがなす角をαとすると

a=OPcosα 、 b=OPsinα
とできるから(1)の要求を満たす事が出来る。

このようにして三角関数の合成公式が出来たのかな？

お礼

なるほど、これは見おぼえがあります。
そういえば、このことを考えれば、合成がどうして成り立つのか・・・？って分かりますよね。
ありがとうございました！

回答No.4

debut

最終的に、ｒsin(θ＋α)をめざしているのですから、
ｒsin(θ＋α)=r(sinθcosα＋cosθsinα)と
　　　　　　２(1/2sinθ＋(√3)/2cosθ) を比べてみてください。
すると、cosα=1/2で、sinα=(√3)/2であるから、α=π/3とわかります。

お礼

なるほど！αの求め方がわかり助かりました！
合成の公式見ると、αとかなっててどこからαが・・・って思ってました（汗

回答No.3

ymmasayan

1/2＝cos(π/3)
(√3)/2＝sin(π/3)

逆から考えないといけないところがつらいですが。

お礼

逆から考えるとわかりますよね
アリガトウございます!

回答No.2

millionbam

1/2 = cos(π/3), √3/2 = sinπ/3
だからですね。
sinθ+(√3)cosθ
= 2{sinθ(1/2)　+　cosθ((√3)/2)}
= 2{sinθcos(π/3) + cosθsin(π/3)}
= 2sin(θ + (π/3))
ちなみに
1/2 = sin(π/6)
√3/2 = cos(π/6)
ですから
sinθ+(√3)cosθ
= 2(1/2 sinθ　+　(√3)/2 cosθ）
= 2｛sinθsin(π/6) + cosθcos(π/6)｝
とcosに合成もできます。sinに合成するのが一般的ですけど。

お礼

なるほど、そういう風にもできますよね。
けど合成といったら加法定理でsinになるようにしますよね　ありがとうございました！

回答No.1

noname#69788

/3は外に出すことが出来ますか。

お礼

すみません・・・　書き方がわるかったです（汗
/3はcosの中身です・・・（汗