三角関数の演算

質問

cos(x)+cos(x+2/5 pi)+cos(x+4/5 pi)+cos(x+6/5 pi)+cos(x+8/5 pi)
という与式を演算する問題について

この演算結果は0ですが、
・加法定理を組み合わせて、一つの三角関数にまとめる
という方針ではうまく演算できませんでした。
(色々試しましたが、休日一日潰しました)

cos(x+4/5 pi){1+2(cos 2/5 pi + cos 4/5 pi)}
の形に変形し、ここから、cos 2/5 pi + cos 4/5 pi = -1/2
を利用して求める方法しか思いつきませんでした。

この解法は、どれだけ演算しても答えが導けなかったため、
「かけてゼロになる項目が作れないか」と苦肉の策で探したところ、偶然見つけたものです。

・加法定理を組み合わせて、一つの三角関数にまとめる
という方針をどの段階で捨てるのかが気になるところです。
皆さん、どのあたりでこの方針を排除されるのでしょうか。
また、それはどんな理由からでしょうか。
(頭が硬いので、「計算テクニックとして」「定石だから」という理由はあまり好みではありません。演算の場合、そういう場合が往々にしてあるので、演算自体があまり好きではないのですが…)

※もし、ひとつの関数にまとめた結果答えが出るのでしたら、
その解法をご教授願います。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

>>a = exp(ix) を与えた場合の z の多項式、
>>　P(z) = z^5 - a^5 = (z-a)*{ (z^4 + a*z^3 + (a^2)*z^2 + (a^3)*z + (a^4) }
>>を作ってみる。

>これは何故でしょうか?

「素描」とはいえ、「イメージ」だけ先行したズボラな作式でした。

　cos(x)+cos(x+2π/5)+cos(x+4π/5)+cos(x+6π/5)+cos(x+8π/5)
を実部とする公比 r = exp(i2π/5) の級数部分和を考えると、
　exp(ix)*(1 + r + r^2 + r^3 + r4)　　　　…(1)
だが、
　1 + r + r^2 + r^3 + r4 = (1-r^5)/(1-r)　　　　…(2)
らしい。
(2) の右辺は零だから、(1)の右辺も零。ならば、(1) の実部も零。

…という感じですかね。

回答No.7

Tacosan

まず問題を見たときに
「単位円に内接する正五角形の重心の x座標 (の 5倍) だから 0 になるよな～」
と思ってしまった....

さておき, 加法定理とか和積の公式とかを使うと
(与式) = cos (x+4π/5) (1 + 2cos 2π/5 + 2cos 4π/5)
= cos x (1 + 2cos 2π/5 + 2cos 4π/5)
が出てくるから
[cos (x+4π/5) - cos x](1 + 2cos 2π/5 + 2cos 4π/5) = 0
が恒等的に成り立つ. つまり
1 + 2cos 2π/5 + 2cos 4π/5 = 0
でなきゃならんので与式は 0 になりますな.

なんというか, 間違った方向に努力している感はある.

回答No.6

alice_44

←A No.4 補足

f(x) = cos(x)+cos(x+(2/5)π)+cos(x+(4/5)π)+cos(x+(6/5)π)+cos(x+(8/5)π)
と置くと、
f''(x) = cos''(x)+cos''(x+(2/5)π)+cos''(x+(4/5)π)+cos''(x+(6/5)π)+cos''(x+(8/5)π)
　　　　= -cos(x)-cos(x+(2/5)π)-cos(x+(4/5)π)-cos(x+(6/5)π)-cos(x+(8/5)π)
　　　　= -f(x)
が成り立つわけですが、
f''(x) = -f(x) は２階線形微分方程式なので、解の集合が２次元ベクトル空間になります。
f''(x) = -f(x) を満たす f(x) の例として、f(x) = sin(x) と f(x) = cos(x) は
すぐ思いつくでしょう？ これが解空間の基底になるので、
f''(x) = -f(x) の一般解は f(x) = P sin(x) + Q cos(x) (P,Q は定数) と書けます。
右辺に「三角関数の合成」を施すと、f(x) = A sin(x+C) (A,C は定数) となるのです。
f''(x) = -f(x)　⇔　∃A,C; f(x) = A sin(x+C) です。
これで、f(x) が一つの三角関数にまとめられたことになります。
係数 A,C は未だ求めていませんが、使わないので、構いません。

sin の中身 x+C の x に係数が掛かっていないのがミソで、
f(x) = 0 (定数) でなければ、f(x) の基本周期(最小の周期)は 2π と判り、
f(x+(2/5)π) = cos(x+(2/5)π)+cos(x+(4/5)π)+cos(x+(6/5)π)+cos(x+(10/5)π)
　　　　= cos(x+(2/5)π)+cos(x+(4/5)π)+cos(x+(6/5)π)+cos(x)
　　　　= f(x)
から判る周期 (2/5)π と相容れないのです。

回答No.4

alice_44

これぐらい、加法定理だけで済ませられる腕力は欲しいところだが…
「一つの三角関数にまとめる」方針なら、こんなのはどうだろう？

f(x) = cos(x)+cos(x+(2/5)π)+cos(x+(4/5)π)+cos(x+(6/5)π)+cos(x+(8/5)π)
と置くと、(d/dx)^2 f(x) = -f(x) が成り立っているから、
微分方程式を解いて f(x) = A sin(x+C) (A,C は定数) と解る。
A sin(x+C) は、A ≠ 0 であれば、基本周期が 2π だが、
冒頭の式を見ると、f(x) は周期 (2/5)π を持つので、
A = 0 である。

お礼

>>これぐらい、加法定理だけで済ませられる腕力は欲しいところだが…
腕力をつけるために演算をしているところもあるので、そのあたりはご勘弁下さい^^;
具体的に加法定理だけで済ませるとどうなるのか実例もいただければ嬉しいです。

ところで、式経変形して周期を比べる、というのは面白い観点ですね。

>>微分方程式を解いて f(x) = A sin(x+C) (A,C は定数) と解る。
ここがよくわかりません。
f''(x)=f(x) ⇒ f(x) = A sin(x+C) (A,C は定数) ということでしょうか?

回答No.3

178-tall

>…ひとつの関数にまとめた結果答えが出るのでしたら、その解法を…

急がばマワれ…複素数の回り道？　素描だけでも…。

a = exp(ix) を与えた場合の z の多項式、
　P(z) = z^5 - a^5 = (z-a)*{ (z^4 + a*z^3 + (a^2)*z^2 + (a^3)*z + (a^4) }
を作ってみる。

P(z) の零点の一つ exp[i{x + (2π/5) } ] にて、上式右辺の
　z^4 + a*z^3 + (a^2)*z^2 + (a^3)*z + (a^4)　　　…(R)
は零。ならば、(R) の実部も零。
　cos(x)+cos(x+π/5)+cos(x+2π/5)+cos(x+3π/5)+cos(x+4π/5) = 0

これを一つ置きにたどれば、
　cos(x)+cos(x+2π/5)+cos(x+4π/5)+cos(x+6π/5)+cos(x+8π/5) = 0
(わざわざ「一つ置き」にしたわけは不明)

お礼

ありがとうございます。
>a = exp(ix) を与えた場合の z の多項式、
>　P(z) = z^5 - a^5 = (z-a)*{ (z^4 + a*z^3 + (a^2)*z^2 + (a^3)*z + (a^4) }
>を作ってみる。

これは何故でしょうか?

回答No.2

USB99

正n角形の外接円の中心から、各頂点へ向かうベクトルの総和は、0

よって中心を原点とし半径１の円に内接する正５角形の各頂点への原点からのベクトルをP１～P５
とすると
P1＋ｐ２＋ｐ３＋P4＋P5＝０
Pkのｘ成分はcos(ｘ＋（ｋ－１）２π/5）とかけるから
cos(x)+cos(x+2/5 pi)+cos(x+4/5 pi)+cos(x+6/5 pi)+cos(x+8/5 pi)＝０

というのはダメ？？

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1149931126

回答No.1

shintaro-2

>「かけてゼロになる項目が作れないか」と苦肉の策で探したところ、偶然見つけたものです。

まずは、cos(θ+π)=-cosθで、　cosX、cos(ｘ±２π/5)、cos（ｘ±π/5）に揃えるところからでは？
そうすれば、積和の公式から比較的楽に導けるはずです。

お礼

>>まずは、cos(θ+π)=-cosθで、　cosX、cos(ｘ±２π/5)、cos（ｘ±π/5）に揃えるところからでは？

こうならないように思います。
cos(x+π) + cos(x+2/5π)+cos(x+4/5π)-cos(x+1/5π)-cos(x+3/5π)
何か忘れていますでしょうか…