変形円錐形の展開図

質問

円錐形の展開図は理解しておりますが、今回教えていただきたいのは「円錐形を真横から見て、底面にたいして平行に切れば高さが小さい円錐形が出来ますが、ある角度をつけて切った時の上方の展開図は、どのように作図すればよろしいのでしょうか？」どうぞよろしくご指導ください。

回答No.1

debut · ベストアンサー

やりかたは詳しくありませんが、参考ＵＲＬの問題14をヒントにすれば
できそうですが、どうでしょうか？

参考URL：

http://www.ai-link.ne.jp/free/learning/kouza/14/answer/answer-p3.htm

お礼

早速のご回答ありがとうございます。参考URLを見ました。図を見ると理解できるかな?と言う気持ちになりまして、早速プリントアウトしました。
ありがとうございました。

回答No.3

stomachman

No.2に書き間違いがありましたんで訂正です。ついでに胃痛を和らげるかも知れない処方として、座標を入れて、ベクトルを追放してみましょう。

　円錐の頂点は座標(0,0,0)にあるとします。z軸が円錐の軸であるとします。
　横軸をx, 縦軸をzにとった２次元の図（正面図）でお考えください。

　高さcの円錐の、底面の円周上にある点rの座標は
( (√(1-c^2))cosθ, (√(1-c^2))sinθ, c)
であり、点rと円錐の頂点との距離は1です。また、底面の円周の長さは2π√(1-c^2) です。

　円錐面上にある点(x,y,z)は、方程式
x^2 + y^2 = (1-c^2)(z^2)
を満たします。
　(x,y,z)と頂点との距離をsとすると
s^2 = x^2 + y^2 + z^2
なので、
s^2 = (1-c^2)(z^2)
です。だから、rを利用して
x = s (√(1-c^2))cosθ, y=s (√(1-c^2))sinθ, z = s c
と書く事ができます。

　円錐を切る平面はy軸と平行であるとします。この平面に原点からおろした垂線の足の座標を
p=(|v|,0,|u|)
とします。すると、平面上にある点(x,y,z)は方程式
|v|x + |u|z = |v|^2 + |u|^2
を満たします。右辺は定数なので、これを|p|^2と書く事にすると、
|v|x + |u|z = |p|^2
です。

　平面と円錐の交点、すなわち「円錐面上にあって、しかもこの平面上にある点」の集合は、従って、方程式
|v|s(√(1-c^2))cosθ+ |u|s c = |p|^2
を満たします。ここでsはθにつれて変化する変数であり、他は全部定数です。
　方程式をsについて解くと、
s =(|p|^2)/(|v|(√(1-c^2))cosθ + |u|c)
となります。（このとき、円錐はまだ切らないで、円錐面上に切り取り線を描くだけにしておいた、と思っておきます。）

　次に、θ=0で円錐を切り開いて展開図にします。展開図は扇形で、その上に切り取り線が描いてあります。扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周の長さなのだから2π√(1-c^2)です。従って、これが扇形の頂角の大きさに他なりません。

　扇形の頂点から見て、円錐を切り開いた線からの角度をtとすると、tは
θ= t/√(1-c^2)
という関係になっています。なので、s（頂点から切り取り線までの距離）をtの関数として表すと、
s[t] =(|p|^2)/(|v|(√(1-c^2))cos( t/√(1-c^2)) + |u|c)
となります。

お礼

stomach manさん　ありがとうございます。またまたのご回答今度は腸までいたくなりそうです。赤鉛筆用意してじっくり勉強したいと思います。しかし今すぐ実践できるのはNo1で回答いただいたdebutさん紹介の「板金の展開図」のほうが早そうです。しかし放射線法とやらを勉強しなくてはなりませんが・・・・。

回答No.2

stomachman

まずは切る前の円錐を考えます。母線の長さを１としたとき、高さがcであるような円錐であるとします。
　切る前の円錐において、頂点から円錐の底面の中心に向かう単位ベクトルをkとし、また、頂点から円錐の底面の縁に向かう単位ベクトル（つまり母線のベクトル）をrで表すと
k・r=c
です。

　次にナナメの平面を、円錐の頂点からこの平面におろした垂線のベクトルpによって決めます。つまり、平面上の点qは、
q・p=|p|^2
と書けるというコトです。（・は内積。）で、pのkと平行な成分をu、
u=(p・k)k
kと垂直な成分をv、
v=p-uk
とします。p=u+vです。

　円錐をこの平面で切って、ひとつの母線rに沿って頂点から切断面までの長さを測ったものをsとすると、
s(p・r)=|p|^2
です。さて、円錐を展開図に開きます。このとき、ベクトルpに一番近い母線（つまり一番短く切られた母線）で円錐面を切り離す事にしましょう。できた展開図（扇形のようなもの）の頂角は、2π√(1-c^2)です。
　頂点を中心にして、展開図に開くために切って出来た縁からの角度t(radian)の向きに直線を描いて、この直線の長さ、すなわち展開図の頂点から平面で切断されて出来た曲線までの長さ（つまり扇形のようなものの半径のようなもの）をs[t]と書くことにします。
　展開図を再び丸めて円錐のようなものにしますと、描いた直線が母線になっています。この母線の単位ベクトルをr[t]とすると、描いた直線のベクトルはs[t]r[t]であり、
s[t](r・p)=|p|^2
です。
　以上をごにょごにょして、
s[t] =(|p|^2)/(c|u| + |v| cos(t/√(1-c^2)))
となります。ですから、極座標で角度t (0≦t≦2π√(1-c^2))に対する半径がs[t]になる曲線を描けば、それが展開図。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。何十年かぶりのベクトルや方程式、思わず胃を押さえてしまいました。理解するには相当時間がかかる事と思います。プリントアウトいたしまして、じっくり勉強させていただきます。ありがとうございました。アアッ胃が痛い。