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円錐の展開図
主婦です。図形のわかる方教えてください。 円錐にぐるりと張るシール（平面）を制作しなければいけません。展開図を教えてください。 台形にカットされた円錐なのですが（頂点部分がない） 円錐の底は、Φ38ｍｍ、円錐の上（カットされた部分）は、Φ26ｍｍ高さは、14.5ｍｍです。 素人考えで、図にして求めていくとΦ62ｍｍとΦ91ｍｍを重ねた図かな・・・？と思うのですが、角度はいっい・・・・？ お願いします。
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まず円錐台の上の消えた部分を再現して円錐にします。 消えた部分の高さをｘとして ｘ：（ｘ＋１４．５）＝２６：３８ これを解くとｘは約３１．４ 円錐の高さは３１．４＋１４．５＝４５．９ およそ４６ｍｍです ここからが作図です。 Φは直径のことだと思うので 円錐の側線の長さは √（４６＾２＋１９＾２）＝４９．８ およそ５０ｍｍ これを半径に円（扇形）を描きます。 （３８π/１００π）×３６０°＝１３６．８° の扇形 これから上の方を切り取ります。 その長さ（半径）は √（３１．４＾２＋１３＾２）＝３３．９８ およそ３４ｍｍ 書いているうちに他の人の回答が出てきて微妙に違って います。四捨五入や計算を間違えていないか不安ですが 検算をしてから参考にしてください。
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- pocariblue
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理論値としては、＃１３様の計算で間違いないと思います。 ただし、実際にシールを貼る時には、 シール自体の厚みがあるため、 扇型の角度は、理論値よりも若干広くしておかないと、 シールで完全に覆えなくなります。 扇型の角度を１４０度にすると、理論上、約1.4mm長くなるのですが、 この程度でちょうど良いのではないかと思います。
お礼
ありがとうございます。１３番さんの補足にも書きこみましたが、おっしゃるとおりです。
ご指摘ありがとうございます。言われてみると変ですね。 ＯＤ：ＢＤ＝ｘ：15.692＝38：26 どう考えても不自然ですね…失格や…図を書くのに必死なりすぎていました… 解答を書かないと雑談扱いで削除されるのでいまさらながら書きますが#13が正しいのでしょうね…失礼いたしました。 (自信なしにしておいてよかった…)
- hinebot
- ベストアンサー率37% (1123/2963)
＃２です。 補足ありがとうございます。 整理しますね。 Φは直径のこと。 つまり、円錐台の上面の円の直径が26mm、底面の円の直径が38mm 高さは、円錐台そのものの高さ（母線[側線]ではない）で、14.5mm ということですよね？ だとしたら、#13さんの計算でよろしいかと思います。 ただ、結構四捨五入されてますので、それが積もって結構誤差がでるかも知れませんが。 #14さん >なぜ他の方との回答が違うのだろう… ＯＤ：ＢＤ＝ｘ：15.692＝38：26 ここが間違ってます。 ＯＤ：ＢＤ＝ｘ：15.692＝38：(38-26)（＝38:12） じゃないですか？ すると、x≒49.69 で、#13さんの計算とほぼ一致します。
お礼
ありがとうございます。 皆さん理数系の方がたでしょうか？尊敬します。ありがとうございます。 キャドで描いて当ててみました。 もとの採寸の誤差と紙厚などもありますが、#13さんのサイズでほぼきました。
補足
すみません。１２番さんの回答が、ピッタリきていました。現物あわせしかできなくて情けないですが・・・。 ありがとうございました。
まず側面の台形(真横からの見た目)を書きましょうか… Ａ＿＿Ｂ ＿ ／ ＼ ｜ ／ ＼ 高さ ／ ＼ ｜ Ｃ￣￣￣￣￣￣￣￣Ｄ￣ Ａ～Ｂ：26mm Ｃ～Ｄ：38mm 高さ：14.5mm なんですよね？ まずＢ～Ｄの長さを求めます。 38-26＝12ｍｍですから ＡＢ ＿ ／|＼ ｜ ／ | ＼ 14.5mm ／ | ＼ ｜ Ｃ￣￣￣￣￣￣Ｄ ￣ ｜6mm ｜ ピタゴラスの定理を使えば出ますね。 _______________________ √6×6＋14.5×14.5 ですから、 Ｂ～Ｄ＝15.692…です。 次に台形を拡張します O Ａ ／＼ Ｂ ＿ ／￣￣＼ ｜ ／ ＼ 14.5mm ／ ＼ ｜ Ｃ￣￣￣￣￣￣￣￣Ｄ ￣ BDを元にODを求めます。 ＯＤ：ＢＤ＝ｘ：15.692＝38：26 ｘ＝15.692×38÷26 ｘ＝22.934 つまり Ｏ～Ｄ＝22.934mmです。 次に展開図ですが、 半径22.934mmの扇の紙の形…（１） 半径26÷２mmの円…（２） 半径38÷２mmの円…（３） この３つがあればOKです。 あと求めるべきなのは（１）の角度ですね。 360×(19÷22.934)＝298.3度… なぜ他の方との回答が違うのだろう…
お礼
図にして頂いて、本当にありがとうございます。 どんな計算をされているのかもわかりました。
- fine_day
- ベストアンサー率70% (6285/8867)
もう回答が出ていますが、まちがったままでは何ですので再度計算してみました。 円錐のカットされた部分の長さ(半径)をa(mm)、扇形の中心角をb(°)とすると 切り落とした円錐について 2aπ×(b/360)＝26π 上部を切り落とさなかった場合の円錐全体について 2(a＋15.5)π×(b/360)＝38π これを解くと a＝33.6(mm) b＝139.4(°） ですので、33.6φの円と（33.6＋15.5）＝49.1φの円を重ねたものを、中心角139.4°で切れば側面が出来る…かも。 計算を間違っていそうでコワイですが。 何度もすいませんでした～。 シール作り、がんばってくださいね。
お礼
本当にありがとうございます。ベース（張るもの）があるので、教えていただいた図を何点か キャドで正確に制図してカットして現物あわせをしてみます。 ピッタリきたものをご報告致しますので、お待ち下さいませ。
補足
いろいろとありがとうございました。 理数系の専攻をされていたのですか。すごいです。 おかげさまで、ぴったり合うシールができます。感謝致します。
白熱してきましたね、＃３です。 ＃５の人の最初の式の考えは１４．５を三角錐の頂点から計るとあっています。が、底辺から計ると、、、。 今思ったのですが、三角錐だから、当然ピラミッドのように置いてあると考えるのは、私の先入観ですね。倒立していれば＃５が正解です。 また、私は底円盤と糊代を考えていませんでしたね。
お礼
すみません。ピラミッドのように置いてあるので良いのです。あまりの回答の 速さに ついていけませんが・・・ ＃５の意味がわからずにいました・・・のであわせて感謝いたします。
- fine_day
- ベストアンサー率70% (6285/8867)
hinebot様 ＞質問者さんのおっしゃっている高さが母線（であり、かつ後者の方）ならこれでいいですが、本当に高さだと違ってきますよ。 ものさしを直接あてて測っているイメージだったので、母線だと判断してしまいました。不注意でした。 ご忠告痛み入ります。 すみませんでした。
お礼
質問の仕方が的確でなかったために すみません。 ありがとうございます。
- hinebot
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再度。 「高さは14.5mm」というのは、切り取った上の円錐の高さですか？ それとも、出来上がった円錐台（下側の立体）の高さですか？ #4さんへ > 2(a＋14.5)π×(b/360)＝38π 質問者さんのおっしゃっている高さが母線（であり、かつ後者の方）ならこれでいいですが、本当に高さだと違ってきますよ。
お礼
出来上がった円錐台（下側の立体）の高さ です。 紛らわしくて済みませんでした。 ありがとうございます。
- ichthyostaga
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私は学習塾で数学を教えている者です。 皆さんの答えがマチマチなのは、「Φの定義」「高さと母線の混同」にあると思います。 ちなみに私が「Φ＝直径」「高さ＝高さ」として計算したところ、中心角は１３７．６５度となり、＃３さんと同じ答えになりました。 急いで計算したので、もう一度検算してみます。
お礼
ありがとうございます。 「Φ＝直径」「高さ＝高さ」です。
- KENZOU
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円錐台のことだと思いますが参考URLの問題05をご覧になられてはいかがでしょうか。 http://www.ai-link.ne.jp/free/learning/kouza/14/answer/answer-p6.htm
お礼
ありがとうございます。
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お礼
ありがとうございます。 数式は良くわからないのですが、 円錐の高さの表現が悪かったようで皆様にご迷惑をかけています。母線ではｍ、なく高さになります。 難しい計算をありがとうございます。
補足
さっき、お馬鹿ながらも、キャドで作図しながら寸法を取っていくと、円錐の高さは３１．４＋１４．５＝４５．９ 円錐の側線の長さは √（４６＾２＋１９＾２）＝４９．８ など、小数点までピッタリあっていて・・・ 算出方法の正しさを確認できたところです。 ありがとうございました。 書き込もうとおもったら、１７番さんからもご指摘を頂いていて・・・。 大変失礼いたしました。