線形

質問

問題で、V がC 上の有限次元線型空間でn をその次元としf : V →V は線型写像としたとき、
f＾k = 0 となる整数k ＞＝ 1 が存在するとき,
(1) f の固有値がすべて0 であることを示せ.
(2) n = 3 のとき, f のジョルダン標準形はどのようになるか.
(3) IV + f は全単射であることを示せ. （IV はV の恒等写像）
がわかりません。
（１）はなんとなくわかりましたが、（２）、（３）がわかりません。どなたか回答お願いします。

回答No.1

alice_44

(2) の問題文を見ると、ジョルダン標準形は既知
とした出題だと判りますね。

(1)
まず、f のジョルダン標準形を k 乗したら
何が起こるか考えてみてください。
(fのk乗) のジョルダン標準形には、
対角成分として f の固有値の k 乗が
並んでいるはずです。
よって、(1) が言えます。

(2)
次に、固有値 0 のジョルダン胞を冪乗したら
何が起こるかも考えましょう。
ジョルダン胞の次数分だけ冪乗すると、
零行列になりますね。
よって、(1) は (fのk乗)=0 となる
k が在るための必要十分条件でもある
ことが判ったことになります。
固有値が全て 0 のジョルダン標準形には、
どんなバリエーションがありますか？

(3)
f の表現行列を F とし、F=(Pの逆行列)JP と
ジョルダン化されたとします。
単位行列を E と書くと、
IV+f の表現行列は E+F で、そのジョルダン化は
E+F=(Pの逆行列)(E+J)P となります。
よって、IV+f の固有値は全て 1 であり、
この線型写像は正則、したがって全単射です。

お礼

ありがとうございました