[P189について]線形代数入門

質問

斉藤正彦氏の線形代数入門p189について質問です。

中段に書いてある、Jの相違なる固有値をα_1 α_2・・・とする
各α_i　に対するxE-Jの特性ジョルダン細胞のうち、次数の最大のものを取り、
それらの直和をK_1とする。

ただし、あるα_i　に対する最大次数の特性ジョルダン細胞が『２つ』以上ある場合は、
そのうちの一方を取る。

xE-Jの特性ジョルダン細胞っていうのは一体何のことなんでしょうか。
また、次数の最大とは・・・？

私がこんがらがっているのは、
(1)Ｊの固有値α_iを１つ考える
↓
(2)その固有値のジョルダン細胞を考える。
↓
(3)次数が最大って？？どうやってその次数が定められているのだろうか？

みたいなかんじで、全く意味がわかりません。
どなたかご教示願えないでしょうか。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「特性ジョルダン細胞」って言うかな、普通？

ジョルダン細胞とは、対角線分がひとつの共通値をとり、
(列番号)-(行番号)=1 の成分の値が 1 である行列のこと。
ジョルダン標準形は、対角部分がジョルダン細胞である
ようなブロック対角行列のことです。

行列の、ひとつの固有値に対するジョルダン細胞は、
一個とは限りません。例えば、下記のジョルダン標準形で
７　０　０　０　０　
０　５　１　０　０
０　０　５　１　０
０　０　０　５　０
０　０　０　０　５
固有値 5 に対するジョルダン細胞は、
3 次の
５　１　０
０　５　１
０　０　５　と、
1 次の
５
の計二個です。
各ジョルダン細胞の次数の和が、特性多項式における
その固有値の重複度と一致します。

上記の例で、固有値 5 のジョルダン細胞の「最大次数」
と言えば、3 と 1 の中で最大…　3 次ですね。
ある固有値に対するジョルダン細胞の最大次数は、
行列の最小多項式におけるその固有値の重複度と一致します。