{{0,1,0},{0,0,1},{1,-3,3}

質問

{{0,1,0},{0,0,1},{1,-3,3}}のジョルダン標準形を求めよ、という問題です。

広義固有空間を求めるまではいいのですが、その後がわかりません。
具体的にどうすればいいのでしょうか。

回答No.6

alice_44

Ker (A-1E)^1 = W^(1) = <{1,1,1}>
…というか、dim Ker (A-1E) = 1 から、
固有値 1 に対するジョルダン胞は 1 個と判る。
固有ベクトルは、ジョルダン胞 1 個につき 1 次元だから。
もう、それだけで、A のジョルダン標準形は
J(1,3) に限定されてしまう。

変換行列を具体的に求めたければ、
(P^-1)AP = J(1,3) なる P の第 1,2,3 列を
p,q,r と置いて、
(A-1E)p = 0,
(A-1E)q = p,
(A-1E)r = q.
を順に解き、P を求めればいい。

W^(2), W^(3) の基底を任意に定めることは、
今回のジョルダン標準形を求めるためには必要ないし、
変換行列を求める役にも立たない。

回答No.5

reiman

J2の3行3列の修正0→1

P^-1AP=J（ジョルダン）
としλをAの固有値とすると
rank(A-λI)=rank(J-λI)
Aの固有値は1の3重解なので
J1 J2 J3　をそれぞれ
(1 0 0) (1 1 0) (1 1 0)
(0 1 0) (0 1 0) (0 1 1)
(0 0 1) (0 0 1) (0 0 1)
とするとJはJ1,J2,J3の何れかである
rank(J1-I)=0
rank(J2-I)=1
rank(J3-I)=2
しかるにrank(A-I)=rank(J-I)=2なので
J=J3=
(1 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1)
である

回答No.4

reiman

P^-1AP=J（ジョルダン）
としλをAの固有値とすると
rank(A-λI)=rank(J-λI)
Aの固有値は1の3重解なので
J1 J2 J3　をそれぞれ
(1 0 0) (1 1 0) (1 1 0)
(0 1 0) (0 1 0) (0 1 1)
(0 0 1) (0 0 0) (0 0 1)
とするとJはJ1,J2,J3の何れかである
rank(J1-I)=0
rank(J2-I)=1
rank(J3-I)=2
しかるにrank(A-I)=rank(J-I)=2なので
J=J3=
(1 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1)
である

回答No.3

alice_44

今回は、結果的に、各次数の
一般固有ベクトルまでは求めるまでもない。
特性方程式が 3 重根を持つことと、
その固有空間が 1 次元であることから、
ジョルダン標準形は決まってしまう。

回答No.2

reiman

＞広義固有空間を求めるまではいい

求めた結果を詳細に全て書きなさい

補足

すみません。
固有値が1になるのでそれに対して
W^(1) = <{1,1,1}>
W^(2) = <{1,0,-1},{0,1,2}>
W^(3) = <{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}>
となると思います。
この後に、ベクトルを選びだすようになると思うのですが、
どのようにして導き出せばよいのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

適当な一般化固有ベクトルを求めて相似変換.