直交する２直線

質問

方程式２ｘ^２－３ｘｙ＋λｙ^２＋５y＋μ＝０がxy平面上の直交する２直線を表すようにλ,μを定め、この２直線の方程式を求めよという問題なんですが、解き方、考え方が分かりません。
答は λ＝μ＝－２
　 ２x＋y＝２、２y－x＝１　です。

直交する２直線が上方程式で表せれるということもよく分からないので、その辺りもよろしかったら教えてください。

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

直線の式は　ax+by+c=0 という風に表す、というのはＯＫですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、２つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は２つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし　b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし　q≠0
とすると　傾きはそれぞれ a/b,p/qですか積が-1 すなわち
(a/b)・(p/q)=ap/bq = -1 ∴ ap = -bq が直交条件です。

なお、b=0(q=0)のときは直線はy軸に平行になります。このとき直交する直線はｘ軸と平行になり、xの係数が0 つまりp=0(a=0) になります。このときもap = -bq (=0)で成り立ちます。

さて(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の左辺を展開すると
apx^2+bqy^2+(aq+bp)xy+(ar+cp)x+(br+cq)y+cr=0
となります。（途中の計算はご自分で確かめてください。）
ここで直交条件をみると x^2 とy^2の係数に注目すればよいことが分かります。
与式に戻って、２ｘ^２－３ｘｙ＋λｙ^２＋５y＋μ＝０のx^2 とy^2の係数をみれば　2=-λ　すなわちλ＝－２が求められます。
これを代入して
２ｘ^２－３ｘｙ＋２ｙ^２＋５y＋μ＝０
これが(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の形に因数分解できれば良いわけです。
x^2,y^2,xyの係数に注目すると
(2x+y+c)(x-2y+r)=0　--(*)という形になることは容易に分かります。
あとはx,yの係数から
2r+c=0
r-2c=5
の２式が出ますので、連立方程式を解いて
r=1, c=-2 よってμ=cr=-2
となります。
このｒとｃを(*)に代入すれば
(2x+y-2)(x-2y+1)=0 となり、直線の式は　2x+y-2=0,x-2y+1=0
と求まります。
答えの２x＋y＝２、２y－x＝１　は上記の式の定数項を移行した形ですね。

お礼

直交条件：傾きの積＝-1　というのをすっかり忘れていました。
ていねいな説明ありがとうございます。

回答No.7

nubou

問題の方程式を２で割り
ｘ＾２－（３／２）・ｘ・ｙ＋（λ／２）・ｙ＾２＋（５／２）・ｙ＋μ／２＝０・・・（１）
とする
この問題は時間をかければ確実に解ける問題だからいかに手を抜けるかが勝負です
そのためできるだけ少ない未知数を使って２つの直線を表現したいのだがそのために下記条件を利用する
・ｘ＾２の係数が１であること
・ｘの係数が０であること
・２つの直線が直交すること
すると未知数はａ，ｂ２つでよいことがわかる
前記方程式は
（ｘ＋ａ・ｙ＋ｂ）・（ｘ－（１／ａ）・ｙ－ｂ）＝０・・・（２）
（１）と（２）のｘ・ｙ，ｙ＾２，ｙ，１（定数）の係数を等しいとすれば
未知数と等式数がともに４なので恙なく未知数は定まり問題は解かれる

お礼

いかに手抜きできるかというのは、大切ですね。
参考にさせてもらいます。ありがとうございました。

回答No.6

noname#1454

ＢＵＤＨＡです。
細かい点、間違えてすいません。

Ａ×Ｂ＝０　と　Ａ＝０またはＢ＝０は同値で、お互い
に「必要十分条件」でした。

また、直線の一般式は　ax+by+c=0　でした。

失礼しました。若いっていいよね。(^^)

お礼

ありがとうございました。
また機会があったらお願いします。

回答No.5

hinebot

#4のhinebotです。

直交条件を説明している部分で
>傾きはそれぞれ a/b,p/qですか"ら"積が-1 すなわち
ということで、"ら"が抜けてました。

あと、
>ここで直交条件をみると x^2 とy^2の係数に注目すればよいことが分かります。
の部分、ちょっとはしょってしまいましたが、
直交条件である ap=-bq は　（x^2の係数）＝－（y^2の係数)を表してます。
それで、その後の
>与式に戻って、２ｘ^２－３ｘｙ＋λｙ^２＋５y＋μ＝０のx^2 とy^2の係数をみれば　2=-λ　すなわちλ＝－２が求められます。
へつながります。

ついでですが、#2のBUDHAさんの回答の「つまり」の次の式
＝０の直前のλはμの誤りですね。（つまらないつっこみでした。）

回答No.3

noname#1454

すいません。ＢＵＤＨＡです。
一部訂正いたします。

ただしくは　（２ｘ＋ｙ－２）（２Ｙ－ｘ－１）＝０

です。

何分、歳なもんで.........。

回答No.2

noname#1454

(2x+2Y-2)(2y-x-1)=0
を満たす必要条件は、２ｘ＋２ｙ＝０または２ｙ－ｘ－１＝０ですから、

これは（ｘ、Ｙ）が直線２ｘ＋２ｙ＝０上または、直線２ｙ－ｘ－１＝０上にあるということと同値です。

つまり
（２ｘ＋２ｙ－２）（２Ｙ－Ｘ－１）＝２Ｘ＾２－３ｘｙ＋λｙ＾２＋５ｙ＋λ＝０　ということです。

以上は解答から問題を導いた訳ですが、問題から解答を導くには、
与式左辺＝（ax+bY)(cX+dY) とおいて、a,b,c,dを求めることになります。

乱筆ごめんなさい。

回答No.1

may-may-jp

左の式が因数分解できれば、
（1の式）（2の式）＝0
となり、この2つの式が直線の式になるのではないでしょうか。