直線

質問

xy平面上の4点O(0,0)、A(2,0)、B(-1,0)、P(x,y)(y＞0)に対して∠OBP=45゜かつPで直線BPに立てた垂線は∠OPAを二等分するという条件が成り立っているときxとyを求めよ

直線BPがy=x+1ということ以外わかりません
解き方を教えてください

回答No.8

ferien · ベストアンサー

ＡNo.7です。補足について

公式は、「２点間の距離」を求める公式を使います。「ある１点と直線までの距離」とは違います。

＞直線BPと点Oの距離はy=x+1⇔x-y+1と(0,0)で|1|/√2
＞点PはBP上だからPとOの距離は実質|1|/√2で、
これは、ＯＰの距離ではなく、点Ｏと直線ｙ＝ｘ＋１の間の距離を求めていることになります。

＞直線BPと点Aの距離はx-y+1と(2,0)で|2x+1|/√5
＞じゃないんですか？
これも、ＡＰではなく、点Ａと直線ｙ＝ｘ＋１の間の距離を求めています。
上の場合も、この場合も求められる長さは、ｙ＝ｘ＋１に対して、
点Ｏからおろした垂線の長さと点Ａからおろした垂線の長さを求めていることになります。
図を描いてみれば分かりますが、これらの垂線の足は、Ｐとは全然違う位置にあります。
（直線ＢＰとＢＰに垂直な直線との交点がＰです。）
だから、ＯＰやＡＰを求めていることには、なりません。

図が正しく描けていれば分かると思います。確認してみて下さい。

お礼

そんな公式があったんですね
ありがとうございました

回答No.7

ferien

ANo.6です。補足について

＞ＯＰ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
＜ＰＡ^2＝（ｘ－２）^2＋ｙ^2
＞となるのは何故ですか？
O(0,0)、A(2,0)、P(x,y)なので、距離の公式からです。
ＰＡでなく、ＡＰの方が分かりやすいでしょうか？
２乗してあるので、√　はつきません。

ＯＰ^2＝（ｘ－０）^2＋（ｙ－０）^2
ＡＰ^2＝（ｘ－２）^2＋（ｙ－０）^2

距離の公式を確認して下さい。

補足

直線BPと点Oの距離はy=x+1⇔x-y+1と(0,0)で|1|/√2
点PはBP上だからPとOの距離は実質|1|/√2で、
直線BPと点Aの距離はx-y+1と(2,0)で|2x+1|/√5
じゃないんですか？

回答No.6

ferien

ANo.4です、補足について

ちょっと入力ミスもあったのですが、以下のように回答していますが。

＞ＯＰ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝ｘ^2＋（ｘ＋１）^2
＞＝２ｘ^2＋２ｘ＋１
＞ＰＡ^2＝（ｘ－２）^2＋ｙ^2＝（ｘ－２）^2＋（ｘ＋１）^2
＞＝２ｘ^2－２ｘ＋５

ｙのところに、ｙ＝ｘ＋１を代入しています。
まだ何かあったら、質問して下さい・。

補足

ＯＰ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
ＰＡ^2＝（ｘ－２）^2＋ｙ^2
となるのは何故ですか？

回答No.5

yyssaa

＞P(x0,y0)とすると、Pはy=x+1上の点なので、y0=x0+1・・・(ア)
Pで直線BPに立てた垂線はCをy切片としてy=-x+C。
y0=-x0+Cからy=-x+(x0+y0)=-x+(2x0+1)・・・(イ)
原点を通るPQと平行な直線はy=x・・・(ウ)
(ウ)とAPとの交点をQとすると、(イ)が∠OPQを二等分し(イ)と(ウ)
は直交しているので、△POQは二等辺三角形となりPO=PQ。
直線APをy=ax+bとおくと、点A(2,0)を通るので0=2a+b・・・(エ)
点P(x0,x0+1)を通るのでx0+1=ax0+b、(エ)を代入して
x0+1=ax0-2a=(x0-2)aよってa=(x0+1)/(x0-2)、(エ)に代入して
b=-2a=-2(x0+1)/(x0-2)
以上から直線APはy={(x0+1)x/(x0-2)}-2(x0+1)/(x0-2)
={(x0+1)/(x0-2)}(x-2)・・・(オ)
点QをQ(x1,x2)とすると(ウ)と(オ)を連立で解いて
x1=y1=2(x0+1)/3・・・(カ)
PQ=√{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}、PO=√(x0^2+y0^2)から
x1^2-2x0x1+y1^2-2y0y1=0、(ア)(カ)を代入して
4x0^2+5x0+1=0から(4x0+1)(x0+1)=0、x0=-1/4、x0=-1
x0=-1はB点と重なるので、x0=-1/4、(ア)に代入してy0=3/4
よって、求めるP(x,y)はx=-1/4、y=3/4・・・答え

お礼

わかりました
ありがとうございました

回答No.4

ferien

ANo.2です。　補足について

Ｐを通るＢＰに垂直な直線は、
傾きｍとすると、ｍ・１＝－１より、ｍ＝－１で、Ｐ（ｘ，ｙ）を通るから、
＞Ｙ－ｙ＝－（Ｘ－ｘ）より、Ｙ＝－Ｘ＋（ｘ＋ｙ）
＞（１）ｙ＝ｘ＋１を、Ｙ＝－Ｘ＋（ｘ＋ｙ）に代入して
Ｙ＝－Ｘ＋（ｘ＋ｘ＋１）から、
＞Ｙ＝－Ｘ＋（２ｘ＋１）……（２）
です。

お礼

分かりました
ありがとうございました

補足

OP^2とPA^2はどうやって求めたのでしょうか？

回答No.3

ferien

ANo.2です。　以下のＯＡをＰＡに訂正して下さい。

＞ＰＭは、∠OPAの二等分線だから、ＯＭ：ＭＡ＝ＯＰ：ＰＡより、
＞ＯＭ・ＰＡ＝ＭＡ・ＯＰだから、ＯＭ^2・ＰＡ^2＝ＭＡ^2・ＯＰ^2　……（３）

他のところのＯＡも同じです。

回答No.2

ferien

＞xy平面上の4点O(0,0)、A(2,0)、B(-1,0)、P(x,y)(y＞0)に対して∠OBP=45゜かつ
＞Pで直線BPに立てた垂線は∠OPAを二等分するという条件が成り立っているとき
＞xとyを求めよ
Ｐの座標を求めます。
＞直線BPがy=x+1　……（１）
Ｐを通るＢＰに垂直な直線は、
傾きｍとすると、ｍ・１＝－１より、ｍ＝－１で、Ｐ（ｘ，ｙ）を通るから、
Ｙ－ｙ＝－（Ｘ－ｘ）より、Ｙ＝－Ｘ＋（ｘ＋ｙ）
（１）より、Ｙ＝－Ｘ＋（２ｘ＋１）……（２）
（２）とｘ軸との交点をＭとすると、（２）よりＹ＝０とおくと、Ｘ＝２ｘ＋１
よって、Ｍ（２ｘ＋１，０）
ＰＭは、∠OPAの二等分線だから、ＯＭ：ＭＡ＝ＯＰ：ＯＡより、
ＯＭ・ＯＡ＝ＭＡ・ＯＰだから、ＯＭ^2・ＯＡ^2＝ＭＡ^2・ＯＰ^2　……（３）
ＯＭ＝２ｘ＋１より、
ＭＡ＝２－（２ｘ＋１）＝－２ｘ＋１
ＯＰ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝ｘ^2＋（ｘ＋１）^2
＝２ｘ^2＋２ｘ＋１
ＯＡ^2＝（ｘ－２）^2＋ｙ^2＝（ｘ－２）^2＋（ｘ＋１）^2
＝２ｘ^2－２ｘ＋５
（３）より、
（２ｘ＋１）^2・（２ｘ^2－２ｘ＋５）＝（－２ｘ＋１）^2・（２ｘ^2＋２ｘ＋１）
展開して整理すると、
１６ｘ^2＋２０ｘ＋４＝０より、４ｘ^2＋５ｘ＋１＝０
（４ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝－１／４，－１
ｘ＝－１／４のとき、（１）より、ｙ＝３／４
ｘ＝－１のとき、ｙ＝０で、ｙ＞０だから不適
よって、Ｐの座標は、ｘ＝－１／４，ｙ＝３／４

計算を確認してみて下さい。

補足

y=x+1からＹ＝－Ｘ＋（２ｘ＋１）となるのは何故ですか？

回答No.1

Dracky376B

図を使って説明します。

直線BP と平行で、点O を通る直線を引き、直線AP との交点を Q とします。

次に、点P を通り、直線BP と垂直な直線を引き、直線OQ との交点を M とします。

この時、直線PMが、∠OPA を2等分している場合、
　・∠OPM ＝ ∠QPM
　・∠OMP ＝ ∠QMP ＝ ∠R（直角）
　・直線PM 共通
より、△PMO と △PMQ は合同になります。

よって、OM = QM より、点M は、線分OQ の中点となります。

点P は 直線BP 上にあるので、P(t, t+1) と表せます。

これを用いて、点Q(u, v) が求まれば、点M(u/2, v/2) が求まります。

この時、直線PM は、直線BM と垂直に交わっているので、傾きは -1 となります。

あとは、t の値を求めればOKです。

補足

どうやって点Qが求まるのでしょうか？