高１の問題 二次関数

質問

２次関数の問題集をといていてどうしてもわからない問題があります。自分なりに考えてみたのですが、どうしても解けません。
どうかお力を貸していただけないでしょうか？

問
2次関数　
y=x^2-2x+k　(-2<=x<=2)
のグラフがx軸の下方にあるとき、定数kの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、「x軸の下方にあるとき」とあるのですが、x^2の係数が正なのに、何故x軸より下にになるのでしょうか？

お時間のあるときでかまわないので、どうかご回答をお願いします。

回答No.2

zono7 · ベストアンサー

まずこの問題は，「常にx軸の下方にある」ではなく，「どこか一部だけでもx軸の下方にある」ということです。

ならば，例えx^2の係数が正（下向きに凸or上に開いた放物線）でも，頂点などがx軸よりも下方にくればＯＫなんです。

とりあえず，平方完成してみるのをおすすめします。

補足

ご回答ありがとうございます。
＞例えx^2の係数が正（下向きに凸or上に開いた放物線）でも，頂点などがx軸よりも下方にくればＯＫなんです。

そうか！！頂点のy座標が負なら上に凸でもいいんですよね。うっかりしてました。

平方完成すると、
y=(x-1)^2-1+k
になりますね。

このときの頂点の座標は
(1,-1+k)
ですよね。

ここからどうやってkの範囲を定めればいいのでしょうか？

自分的には
(1)　頂点のy座標が負になるようにkの範囲を決める。
　(k<0)
(2)　x=-2を代入したときの式の値が0未満になるようにkの範囲を定める。
(3)　(2)と同様に、x=2を入れる。

として、(1)、(2)、(3)の範囲の共通するところが答えのような気がしますが...
これでいいのでしょうか？？

回答No.6

zono7

「最大値」の考え方まで分かっておられるなら，大丈夫です。

それで大丈夫ですよ(^.^)

ちなみに，さっきの共通部分もｋ＜-8になりますね？

お礼

何度も丁寧にご回答いただき、ありがとうございました！

＞ちなみに，さっきの共通部分もｋ＜-8になりますね？
ハイ！計算すると共通部分はk<-8となりました。

確かに共通部分で考えるよりこういった別の視点から考えるほうがわかりやすく理解できますね！

何度も質問してしまってお時間をとらせてしまって申し訳ありませんでした！

回答No.5

zono7

＃２です。

ご回答いただいたように，共通部分でも良いですが，多分それでは，「なぜ共通部分？」がお分かりにならないのでは・・・？（ごめんなさい^^;）

そこで，違うアプローチで説明します。こっちのほうが応用が効くと思います。

簡単でいいので，グラフを書いてみましょう。下に凸の二次関数ならば，「軸から遠いほど上に行く」という性質があります。例えば，シンプルにy=x^2のグラフ（軸はｙ軸→ｘ＝0）で考えれば，x＝1（or-1）である点よりｘ＝2（or－2）である点の方が，またそれよりｘ＝3（or-3）である点の方が，より上の点になります。理由は「軸から離れるから」です。

さて。今回のグラフの軸は？変域がありますから，最も軸から離れるのは・・・？と考えてみてはどうでしょうか？？

補足

ご丁寧にご回答くださって、ありがとうございます。

＞最も軸から離れるのは・・・？

最も軸(x=1)から離れるのはx=-2のときですね。
ここがこのグラフの最大値となるのでここのy座標が０未満となるようにkの範囲を決めればいいのでしょうか？？

何度も質問してしまって申し訳ありません。

回答No.4

noname#210617

＞正負が不明な定数はありません。
またまた、うっかりだ。

お礼

申し訳ありません。
kがありました...

回答No.3

postro

この関数の有効範囲は
　(-2<=x<=2)
です。
この範囲がx軸の下方にあるのです。

回答No.1

noname#210617

＞x^2の係数が正なのに、何故x軸より下にになるのでしょうか？
そいつは、ちょっとうっかり、じゃないかな。
式にマイナスが入ってないか。
正負が不明な定数がないか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
せっかくご回答いただいたのに申し訳ないのですが、正負が不明な定数はありません。