（1/1）＋（1/2）＋…＋（1/n） (n≧2)

質問

標記の式が整数にならないことを証明しようとしています。
なんとか以下が成り立つことが示せれば証明できるということまでわかりました。
「pが素数ならp＜q＜2pを満たす素数qが存在する。」
これを証明するアドバイスをいただきたく存じます。もし、全く別解があればそれでも構いません。級数
（1/1）＋（1/2）＋…＋（1/n）＋…
が∞であることも関係あるんでしょうか？

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

全く別の発想で

1/1+1/2+…+1/nが整数になったと仮定する。
1/1+1/2+…+1/n=A(Aは整数)とおくことにする。
1,2,・・・,nの最小公倍数Mをとる。
M/1+M/2+…+M/n=M*A・・・※

Mは偶数だから、※の右辺のM*Aは偶数
ところが、※の左辺に注目すると
2^k≦n＜2^(k+1)となるような、2^kに注目すると
M/1,M/2,…,M/(2^k-1),M/(2^k+1),・・・,M/nは偶数であることがわかる。
よって、M/1+M/2+…+M/{(2^k)-1}+M/{(2^k)+1}+・・・+M/nは偶数である。
M/(2^k)は奇数だから、
(M/1+M/2+…+M/{(2^k)-1}+M/{(2^k)+1}+・・・+M/n)+M/(2^k)
=M/1+M/2+…+M/{(2^k)-1}+M/(2^k)+M/{(2^k)+1}+M/nは奇数となる。

以上より、※の左辺＝奇数,※の右辺＝偶数となって不合理。

したがって、1/1+1/2+…+1/nが整数になることはない。

お礼

ご回答ありがとうございます！そういう方法があるんですね。ちなみにチェビシェフでも証明でき、ご教示いただいた方法でも証明できるのでこの問題を用いて逆にチェビシェフを証明できないか、・・・と模索したんですが、甘くなかったです・・・＞＜。やっぱりできませんでした。

回答No.2

noname#24477

チェビシェフの定理と呼ばれるものです。
検索してみてください。
証明はそう易しくないと思います。
統計のほうにも同じ名前がありますが、
数論の方をみてください。

お礼

ありがとうございます。見てみます。

回答No.1

eatern27

＞「pが素数ならp＜q＜2pを満たす素数qが存在する。」
チェビシェフの定理というらしいですね。

詳しい事は全く分かりませんが、どうやら、http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf.html
で証明されているみたいです。上から７番目くらいの「素数の分布に・・・」というやつです。

お礼

ありがとうございます。pは素数でなくても成り立つんですね。証明単純じゃないですね…。読むの大変そう…。あとで時間かけて読みます。そうするとこの問題のチェビシェフを使わない別解はないかもしれませんね。別解があると逆にこの問題でチェビシェフの証明ができてしまいそうなので、そんなむずかしい証明する必要ないことになっちゃいますもね。