任意の整数m,nについて、m^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

質問

任意の整数m,nについて、m^2+n^2=p^2+q^2を満たすような
有理数p,qの組み合わせは
a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数の組a,b,cを用いて
p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c以外に存在しますか?

前回↓で質問した者です。
http://okwave.jp/qa/q6158436.html
上記のp,qが存在することは教えていただいたのですが
他にもあるのか気になりました。
質問の後ちょっとだけピタゴラス数の所をかじったのですが
もしかしたら、上記以外には存在しないのではないでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c以外に存在しますか?

存在しません。

証明は簡単で、
上記の式から、a/c、b/cをm,n,p,qで表して、
(a/c)^2+(b/c)^2=1
が成り立つことを示せばいいだけです。

補足

引き続き回答いただき、ありがとうございます。

a/c=(pm+qn)/(m^2+n^2)、b/c=(pn-qm)/(m^2+n^2)
となって
(a/c)^2+(b/c)^2=1 つまり a^2+b^2=c^2
を示すことはできました。
点(a/c,b/c)が単位円周上にある全ての有理点を表す、または
点(a,b)が原点中心で半径cの円周上にある全ての有理点を表す
と言えるのもわかるのですが
点(p,q)が全ての点を表していることにどう繋がるのですか?

回答No.3

nag0720

＞「つまり、」以降の部分ですが
＞次のように言い換えることは可能ですか?
＞m^2+n^2=p^2+q^2を満たすような有理数p,qの組み合わせの全ては
＞整数a,b,c,m,n (但しa^2+b^2=c^2)を用いて表すことができる。

可能です。

＞m=pの場合等も考慮して、a=1,b=0等も可能にしたのですが問題無いですよね?

問題ありません。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

nag0720

＞点(p,q)が全ての点を表していることにどう繋がるのですか?

有理数p,qが
m^2+n^2=p^2+q^2
を満たすとき、
A=(pm+qn)/(m^2+n^2)
B=(pn-qm)/(m^2+n^2)
とすれば、
A^2+B^2=1
が成り立ちます。

A,Bは有理数ですから、A,Bの分母の最小公倍数をcとし、a=Ac、b=Bcとすれば、a,b,cは整数であり、
a^2+b^2=c^2
となります。

つまり、
有理数p,qが
m^2+n^2=p^2+q^2
を満たすとき、
p=(am+bn)/c,　q=(an-bm)/c,　a^2+b^2=c^2
となる整数a,b,cが必ず存在します。

言いかえれば、上記の条件を満たす整数a,b,cが存在しないような有理数p,qはありえないということです。

お礼

お礼欄にも質問で申し訳ありませんが…。
m=pの場合等も考慮して、a=1,b=0等も可能にしたのですが問題無いですよね?

補足

回答ありがとうございます。

「つまり、」以降の部分ですが
次のように言い換えることは可能ですか?
-----------------------------------------------------
m^2+n^2=p^2+q^2を満たすような有理数p,qの組み合わせの全ては
整数a,b,c,m,n (但しa^2+b^2=c^2)を用いて表すことができる。