n!=p^k

質問

n!=p^kを満たす（ｎ,p,k）の組は存在しますか？ただしｎ＞０、ｐは素数とする。

だれか証明できる人いますか？お願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

n！が複数の自然数の掛け算になっているので、
素数の k乗となる数は限られますよね。
#1さんも書かれているように、n＝ 2までしか成り立たないかと。

具体的に書いてみると見えてくると思いますが、
右辺が素数の k乗になっているということは、左辺で 素数：pが k回かけられていることになります。
そのような kをピックアップしてみると、pが素数なので
p, 2p, 3p,・・・, kp

となります。
ところが、これら k個の数をかけただけでも
p* 2p* 3P* ・・・* kp＝ k！*p^k

となってしまいます。
さらに、pと 2pの間、2pと 3pの間とそれぞれの間にも自然数が現れてきます。
3以上の素数は奇数になっているので、左辺に偶数が現れてくる時点で存在しないことは言えますね。

この辺りを p＝ 2の場合、p≧ 3の場合として場合分けして論じていけば、
(n, p, k)＝ (2, 2, 1)だけと言えると思います。

お礼

なるほど～

ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

素因数分解が一意であることから、
A No.1 の解が全て。証終

お礼

ありがとうございます

回答No.3

Tacosan

そもそも n≧3 に対して n! = p^k (p は素数) となりえないことは自明ですよねぇ....

「(2以上の) べき根が整数になるかどうか」は自明じゃないけど, ならないこともチェビシェフの定理からほぼ明らか.

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Rice-Etude

k=0ならたくさんあります。(n,p,k)=(1,p,0)となれば1=p^0なので。
あとは(n,p,k)=(2,2,1)ですね。

お礼

ありがとうございます