内部エネルギーの求め方

質問

次の問題の解法について，解法1でも解法２でも答えは同じと思うのですが，ある問題集では答えが違っていました。単に問題集の誤りなのか私の考えが誤りでしょうか。ご教示願います。
【問題】
状態１から状態２への変化における内部エネルギーの変化ΔＵを求める。
●条件
　・理想気体　・状態1から状態２へは定圧変化
　・以下，与えられているパラメータ
・定圧比熱Ｃｐ，定積比熱Ｃｖ
・状態１：　P，V1，T1，ｍ
・状態２：　P，V2，T2，ｍ

◎解法１
ΔＵ＝ｍＣｖ（Ｔ２－Ｔ１）
◎解法２
ΔＱ＝ｍＣｐ（Ｔ２－Ｔ１）
ΔＬ＝Ｐ（Ｖ２－Ｖ１）
↓
ΔＵ＝ΔＱ－ΔＬ

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

両方正解です。

ΔＵ＝ΔＱ－ΔＬ=ｍＣｐ（Ｔ２－Ｔ１）-P(V2-V1)
=mCp(T2-T1)-mR(T2-T1) (∵PV=mRT)
=m(Cp-R)(T2-T1)=mCv(T2-T1)

Cp=Cv＋Rの証明は簡単です。モル比熱を考える時は
一モルの理想気体を考えます。

dQ=dU＋PdVの両辺をP一定としてdTで割ります。
dQ/dT=dU/dT＋PdV/dT
⇔Cp=(∂U/∂T)_p＋P(∂V/∂T)_p
U=3/2RTより(∂U/∂T)_p=3/2R
またPV=RTより、P(∂V/∂T)_p=R

よって、Cp=(3/2)R＋R=Cv＋R

お礼

ご教示ありがとうございました。

安心いたしました。

回答No.3

ht1914

表現が違うから片方が間違っていると何故判断するのですか。片方がＣｖを用いており、他方がＣｐを用いていれば表現は変わってきます。でもＣｖとＣｐの間に関係があることは知っていると思います。それを使って変形すればよいとなぜ考えられなかったのですか。関係があったはずだということまで分かればｔｅｘｔでその関係を調べることが出来るはずです。必ずしもきちんと覚えていなければ出来ないというのではありません。その関係を使って同じ量が出てくるように変形したのに結果の式が一致しない。何処で間違ったのだろうか。この質問ならあり得ます。

回答No.2

ht1914

質問の意味がよくわかりません。

解法１、解法２は両方ともあなたが考えたものですか。それとも片方があなたでもう一つが問題集ですか。答えが違っていたというのはこの２つと違う表現があったということですか。
２つともあなたの考えたものだったら、どちらでも同じだと思っていたのにという文章がありますから問題集は関係がないはずですね。解法１と解法２が同じであるということを示すことが出来なかったというのであればそれぞれの解法の意味、立場をもっと明らかにする必要があります。
解法１は理想気体の内部エネルギーは温度のみによって決まるということから出した式です。
解法の２はこの変化を起こすのに必要な熱量をまず求めます。内部エネルギーの変化はそこから体積変化に伴う仕事を差し引いたものだいう考えです。
＃１の方は解法１と解法２が同じものだということを親切に導いてくれています。それを見て安心したという返事があるということは、・・・？
あなたはどちらを考えたのですか。

補足

失礼しました。質問の文章が不明瞭でした。

その問題集には
ΔＵの求め方として「解法２」が示されていました。

私は「解法１」でも「解法２」でも計算結果は同じであるはずと思いつつも確信がなかったため，念のために「解法１」で計算をしてみたところ，「解法２」による値と異なっていたのです。

そこで，単に問題集に記載のＣvの値が誤っているのか，それとも「解法１」と「解法２」でも結果は同じと考えていた私の理解が誤っていたのかを確認したくて質問をした次第です。