エネルギーの全微分

質問

以下の問題があります。
【問題】
エネルギーU[S,V,N] の全微分は dU = TdS - PdV + μdN で与えられる。
∂T / ∂P = - ∂V / ∂S は正しいか。

【解答】
解答を読むと誤りであって、その理由は H = U + PV を利用してルジャンドル変換を行った後の dH = TdS + VdP + μdN から ∂T / ∂P を得ると ∂V / ∂S になり、問題の右辺の負号が不要だからとなります。

【質問】
教えていただきたいのは次のことです。
dH の形に変換した後の式を利用すると解答の通りになることはわかるのですが、なぜ変換をしなければならないのかがわかりません。
もとの dU の形から変形すれば、∂T = ∂U / ∂S, ∂P = - ∂U / ∂V から ∂T / ∂P = - ∂V / ∂S となり、問題の式と一致します。
なにを判断材料として いったん dH の形に変換するのでしょうか。

なにかを忘れているか見落としているのだと思うのですが、わからなくて。
お願いします。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

まず∂T = ∂U / ∂S, ∂P = - ∂U / ∂Vはおかしいです。T＝(∂U/∂S)_v, n および-P=(∂U/∂V)_s,nです。

ｄHにするのは独立変数をSとPにするためです。これならT＝(∂H/∂S)_p, n及びV=(∂H/∂P)_s, nとなります。それぞれをHは完全微分なので、微分の変数を入れ替えても等しいものなります。それぞれを逆の変数で微分すれば(∂T/∂P)_s,nおよび(∂V/∂S)_p,nとなります。Pで微分してからSで微分しても、その逆で微分しても等しいですから
(∂T/∂P)_s,n=(∂V/∂S)_p,n
です。

お礼

返信をありがとうございます。

説明を読み、１時間ほど考えて間違いに気がつくことが出来ました。
鎖則と言うのでしたっけ。偏微分を偏微分として考えていなかったようです。
かなり初歩的な誤りにも関わらず丁寧な説明に助けられました。
その後、他の同様の問題を解いても正解できるようになったようで一安心と言ったところです。

また困っていたら手を貸していただけたら嬉しいです。

回答No.1

eatern27b

>もとの dU の形から変形すれば、∂T = ∂U / ∂S, ∂P = - ∂U / ∂V から ∂T / ∂P = - ∂V / ∂S となり、問題の式と一致します。
この部分が正しくなさそうですが、どういう事を考えてこうなったのかが分からないので何を説明すべきなのかが分かりませんでした。

特に
T = ∂U / ∂S
P = - ∂U / ∂V
をどのように考えた結果、∂T / ∂P = - ∂V / ∂S になったのかもう少し詳しく書いて貰えますか。

お礼

返信をありがとうございます。

偏微分と言うことを禄に考えずにただの変数の変換として扱っていました。
jamf0421さんからいただいた返信中の「独立変数」と言うキーワードをみて(それから１時間ほど考えて)やっと自分の間違いに気がつきました。

半ば以上趣味でつまみ食いでやっているので、この手のミスがあります。
また困ったときにはご教授いただけると嬉しいです。