熱力学 断熱変化 定圧変化

質問

何度考えても分からないので質問させていただきます。

熱力学(高校範囲)について

理想気体で状態方程式pV=nRTは常に成立という考えは合っていますでしょうか。

画像の問題について一つずつ確認していきたいのですが、
「内部エネルギーは温度に依存する。」
つまり、[問1]の「高度zでの断熱変化」という設定で、ΔTの変化での内部エネルギーΔUの値を求める作業をする。
これにより今後のΔTは全て[問1]の答えを使えるということで合っていますでしょうか。

[問1]の時の気体の状態
圧力 : p
体積 : V+ΔV
物質量 : n
温度 : T+ΔT

続いて、問題文より「図2のように、･･･高度z+Δzで･･･」においての話をしますが、

問題文の高度z+Δzでの気体の状態
圧力 : p+Δp
体積 : V+ΔV
物質量 : n
温度 : T+ΔT

もちろんこの2つの気体の状態変化を比べるとボイル•シャルルは成立しません。

断熱変化と定圧変化が同時に起こるのはありえないですよね。
この画像の[問1]は「断熱変化(微小変化)」とし定圧変化のように扱っているのでしょうか。
つまり、[問1]の変化においては気体の状態方程式(ボイル･シャルル)は不成立ということで合っていますでしょうか。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

問1は、圧力一定のもとで断熱（Q = 0）の変化が起こるとどうなるか、という問です。
この場合、解答のとおり
p不変、VとTが変化
という結果になります。

※よく問題集に現れる断熱変化の問題は
「T一定、Q = 0の状況でpとVを変化させたとき」
というものですが、これと勘違いしているのかもしれません。

問2は、断熱かどうかとは関係なく、空気塊の一般的な状態変化（p,V,Tの相互関係）について問われている問題です。

問3は、大気層Bの鉛直方向のつり合いからΔpとΔzの関係を問う問題です。この問題も、問1や問2とは独立しています。

問4になってはじめてこれまでの問の結果をつなげます。問3で扱った大気層Bは「下面の圧力がp , 上面の圧力がp+Δp」という設定なので、大気層B自体の圧力は「pからp+Δpの間」と考えるのが自然です。ここでΔpを微小量として扱うことで
「大気層Bの中の空気塊の圧力はどこも一定でpである」
と近似します。これが問1の状態です。
そして、この大気層Bが図2のように上昇していく状況を考えます。ここで、上昇の際には空気塊全体（大気層B）の圧力も変化すると考えていきます。この際に用いるのが、問2と問3の結果をあわせた式です。
（問2と問3の結果をあわせてΔpを消去すると、ΔzとΔVの関係式が得られます。）
さらに問1の結果をあわせる（ΔVを消去する）ことで、ΔzとΔTの関係式が得られます。これが問4の答です。

※この問で得られる結果は、物理というよりも気象学の範囲でよく扱われます。気象予報士の試験にはこういった知識も必要となるでしょう

補足

返答していただきありがとうございます。
各問題に対して詳しく説明していただきありがとうございます!

何度も質問してすみません。
説明を見て思ったのですが、
断熱変化で
「T一定、Q=0の状況でpとVを変化させたとき」
は可能なのでしょうか。
気体のする仕事をWとしたとき、
ΔU=ーW (Q=0)
より温度Tは必ず変化しませんか。

不可能か可能かではなく、回答者様が[問1]でおっしゃった通り、その条件で変化が起こるとどうなるか、ということなのでしょうか。

回答No.3

ハヤシ イトアキ（@1284647538999）

理想気体において、状態方程式 pV = nRT は常に成立します。これは、理想気体が非常に単純なモデルであるため、熱力学的な議論でしばしば使用されるものです。ただし、実際の気体は理想気体ではなく、状態方程式はあくまでも近似式であり、実際の気体の挙動を完全に表現するものではありません。

[問1]について、断熱変化とは内部エネルギーの変化がない状態変化を指します。一方、定圧変化は圧力が一定である条件で行われる状態変化です。この問題では、断熱変化が起こると仮定されており、気体の状態方程式は不成立になるかもしれません。ただし、この問題では微小変化についての議論がされているため、微小変化の範囲内では状態方程式が成立すると仮定されています。

また、内部エネルギーの温度依存性については正しいです。内部エネルギーは気体分子の運動エネルギーに由来するため、温度が上昇すると分子の運動エネルギーも上昇し、内部エネルギーも上昇します。[問1]においては、温度の微小変化に対する内部エネルギーの変化を求めることができます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

＞理想気体で状態方程式pV=nRTは常に成立という考えは合っていますでしょうか。

合っています。pV = nRT が成立する気体を理想気体とよびます。

問１(1)
熱力学第一法則より
ΔU = Q - ΔW
（ΔU : 内部エネルギーの変化量、Q : 外部から加えた熱量、ΔW : 気体が外部にした仕事）
となり、断熱変化では Q = 0 なので
ΔU = -ΔW …答

(2)
ΔU = Cv n R ΔT
ΔW = p ΔV
これと (1) より
Cv n R ΔT = - p ΔV
ΔT = - (p ΔV) / (Cv n R) …答

※ここまでの結果は、気塊が空中で高さを変えず断熱膨張（または断熱収縮）したときの話であり、問２で問われている「風で浮き上がって山に衝突した場合」とは異なります。
つまり、このΔTと問２のΔTは異なります。

問２
気体の変化前と変化後の状態方程式を立てて
p V = n R T …①
(p + Δp) (V + ΔV) = n R (T + ΔT) …②
②の左辺を展開し、問題文の指示に従って Δp ΔV の項を0と近似すると
p V + p ΔV + V Δp = n R (T + ΔT) …③
③から①を引いて
p ΔV + V Δp = n R ΔT
両辺を pV で割って
(ΔV / V) + (Δp / p) = (n R ΔT) / (p V)
ここで①より p V = n R T なので
(ΔV / V) + (Δp / p) = (n R ΔT) / (n R T)
(ΔV / V) + (Δp / p) = (ΔT / T)
よって
ΔV / V = - (Δp / p) + (ΔT / T) …答

※繰り返しになりますが、問１とは状況が違っているので同じ結果にはなりません。問１とは独立した問題として考えてよいです

補足

返信が遅くなってしまいすみません。。
詳しく丁寧に返答していただきありがとうございます!!

密閉容器(今回、「空気塊Aへの物質の出入りがないと仮定」と問題文に記載されているので密閉容器扱い?)においての断熱膨張(または断熱圧縮)では
→体積変化(W), 温度変化, 圧力変化
で合っていますでしょうか。
断熱変化のPVグラフを見た時、圧力Pも体積Vも常に変化しています。(グラフはn(物質量)一定のグラフですよね...?)

なので、[問1]を解いている際に『密閉容器で断熱変化なのに定圧変化!?』となりました。
[問1]では体積微小変化ΔVで、圧力pを一定として扱っているのでしょうか。問題文に誘導されるがまま、圧力pで(一定として)気体がする仕事W=pΔVとして解きましたが...(pとVが変わりながらの変化の時、本来はW=∫pdVの積分?)

[問1]と[問2]が独立している問題だということは分かりました!
ですが、[問4]の際には[問1]と[問2]で導出した解答を使いますよね。
それはよろしいのでしょうか。