モル比熱にて⊿a=⊿b⇔a=bが成り立つ？

質問

定積モル比熱、定圧モル比熱についてです。

画像のように、

⊿U＝ｎ・C［ｖ］⊿T⇔U＝ｎ・C［ｖ］・T

は必要十分条件（同値）ですか？それとも別々の全く関係ない式ですか？

一般的に

⊿a=⊿b⇔a=b

とはなりませんよね？

回答No.4

jamf0421

無限小変化をかんがえます。da=dbだったとして、これを積分したら積分定数だけ差がでます。（前の回答者さん達がいわれているとおりです。）一方a=b→da=dbは当然正しいです。

さてT, Vを独立変数としてUの全微分は
dU=(∂U/∂T)_vdT+(∂U/∂V)_tdV...(i)
と書けます。また熱力学の第一法則より
dU=dQ+dW=dQ-PdV...(ii)
です。
dQ=CvdT+LdV...(iii)
とかいてみるとdV=0ならばdQ=CvdTでCvは定積比熱となります。(iii)を(ii)に代入すると
dU=CvdT+LdV-PdV=CvdT+(L-P)dV...(iv)
となります。(iv)と(i)を比較すると
(∂U/∂T)_v=Cv....(v)
(∂U/∂V)_t=L-P...(vi)
が出てきます。つまり(v)式の通りV一定でUをTで微分したものがCvなのです。
だから積分したら(1 molあたりで考えて）
U=∫CvdT...(vii)
であり、Cvが温度に依存しない限りは
U=CvT+const...(viii)
となります。この積分定数(const)が分かっているなら内部エネルギーは確定で、とくにこれがゼロならU=CvTです。実際単原子理想気体の内部エネルギーをU=(3/2)RTと書いたりします。これは内部エネルギーをx, y, z軸方向の並進運動のみと考え、一自由度あたり(1/2)Rと考えて一応正当化されます。
二原子分子の内部エネルギーを並進と回転だけ考えるならば、Cv=(5/2)Rです。でもU=(5/2)RTでよいでしょうか？実際はあまり温度が高くないならCv=(5/2)Rですが、温度が上がれば振動の効果が効いてきますのでCv＝(5/2)Rから外れていきます。U=(5/2)RTには無理があります。
内部エネルギーとは当該物質全体で動いているエネルギー（箱に入った気体の箱が動いているみたいな）を差し引いた、当該物質のエネルギーを指します。だとすれば温度が変ったとき例えば電子とかのエネルギー全然無関係なのでしょうか？通常熱力学で扱う範囲の変化では無視して差し支えないものというに過ぎないではないですか。
結局UをTで微分したものがCvですが、これを積分して
U=∫CvdT
でUの絶対値を出すのは無理である、ということになります。

お礼

ありがとうございます(^^♪

あれ、すみませんが、微積を物理に使う段階ではないです＞＜

そのレベルまで来たら読み返させていただきます！

回答No.3

phosphole

熱力学にかぎらず、
＞⊿a=⊿b⇔a=bとはなりませんよね？
は当然です。
そもそも、デルタ（差分）が問題になるということは、2つの値の差を問題にしているのですから、なぜ単一の値（デルタが無い方）が議論に現れるのですか？何か勘違いされてませんか？
おそらくですが、文字式にひっかかっておかしな考え方をされてるのでは？と懸念します。

なお、たいていの熱力学（とくに化学熱力学）では、エネルギーなどの差分（すなわちデルタが付いた方）が重要なケースが多いです。

お礼

ありがとうございます(^^♪

なんか、色々分からない事が重なって混乱していたんだと思います＞＜

回答No.2

okormazd

⊿a=⊿bなら
⊿a/⊿b=1
ということで、a=b+C　(Cは定数)というとになって、a=bにはなりません。
同様に、⊿U＝ｎ・C［ｖ］⊿Tで、n、C［ｖ］を定数とすれば、U＝ｎ・C［ｖ］T+C(定数)
ということになって、U＝ｎ・C［ｖ］・Tとは定数分だけ違います。ところで、
たぶんUは内部エネルギーでTは絶対温度のことでしょう。とすれば熱力学の基本的な概念(何とかの法則とでもいうのかもしれないが、忘れた)で、T=0[K]のときU=0になるのではなかったでしょうか。そうすれば、C=0となるので、U＝ｎ・C［ｖ］・Tが成り立つということでいいのではないでしょうか。
簡単な微分方程式
dy=kdx
初期条件、x=0で、y=0なら、
y=kx+Cとなって、0=k・0+Cで、C=0
よって解は、y=kx

お礼

ありがとうございます(^^♪

なるほどです！

回答No.1

nananotanu

素直に日本語を読めばΔの有る方の式は常に成り立つ、無い方の式は定積変化でのみ成り立つ、と書いてありませんか？

お礼

ありがとうございます(^^♪

あれ、聞く所によってよく考えたら表しているものが違いますね（汗）

⊿a=⊿b⇒a=b
も
⊿a=⊿b⇐a=b

も一般的に成り立ちませんね（泣）

＞素直に日本語を読めばΔの有る方の式は常に成り立つ、無い方の式は定積変化でのみ成り立つ、と書いてありませんか？
そうですね＞＜