二次方程式解の公式の問題

質問

こんにちは。数学を随分離れていて問題に対する自分の回答に自信がもてません。
問題・周の長さが20cmの長方形の両辺にそれぞれ2cmを足したとき、
その面積は元の長方形の面積の2倍になるという。
このとき元の長方形の面積を答えなさい。
x+y=20 (y=20-x)
(x+2)((20-x)+2)=2xy
(x+2)(22-x)=2x(20-x)
22x-x^2+44-2x=40x-2x^2
-x^2+20x+44=-2x^2+40x
-x^2-20x+44=-2x^2
x^2-20x+44=0
解の公式より　20±√400-4*44 / 2
x=10±2√14
x^2=(10±2√14)^2
x^2=100±40√14+56
x^2=156±40√14
答えはこれであっているでしょうか？
間違っているとしたらどこに問題がありますか？
よろしくお願いします。

回答No.7

pyon1956 · ベストアンサー

＞解の公式を使わずに簡単に解答に至る方法がまだ分かっておりません。
どなたか、教えていただけるとすっきりして質問を締めることができるので
解答込みで簡単に考える方法と計算式を載せていただけると大変助かるのですが
お願いできないでしょうか？

#3です。私の答え、わかりにくいですか？繰り返しですが、要するに、2cmずつ拡げる、ということは横の長さ×2cmの長方形と、縦の長さ×2cmの長方形と2cm四方の正方形を元の長方形に付け加えることですから、半周の長さ(つまり縦＋横）×2＋2×2が、拡大された部分の面積です。2倍になったということはこれが元の長方形の面積と等しいのだから、元の面積は24平方センチです。

お礼

皆さんのご協力のお陰でいくつかの方法で解答にたどり着くことが
できました。この場を借りてお礼を申し上げます。
ポイントをお二人の方にしか差し上げられないのは心苦しいですが
二度のご回答を下さったお二人にポイントを差し上げることにしました。
特にpyon1956の方法は思いついてしまえばかなり簡単に答えが見つかるということで20ptとさせて頂きました。
皆様、本当にどうもありがとうございました(^^)

補足

図を書いて考えてみました。
要は拡大された部分＝元のサイズと同じ面積ということで
こちらを求めるだけで元の面積が分かるということですね！
で、求め方は2X(縦2cm)+2Y(横2cm)+4(角の2x2)
→2(X+Y)+4→X+Yが10なので面積は24　
やっと解答に行き着きました。
この方法が思いつくと確かにかなり簡単に解答に行き着きますね。
どうもありがとうございました。

回答No.6

ymdmshr

#4のものです
書き込みのタイミングが重なってしまいましたね。
計算方法はあっていると思います。
私の計算方法(考え方)が違うだけですね。
私は面積を直接出すような連立方程式にしました。
求める面積をZとすると、
1.先ほどの#4での式、
2.あと元々の面積を求める式、
3.#2さんの式
の3つの連立方程式ができあがります。#4の式を展開してX、Yを消していくと元の面積がでると思います。
どうでしょう？

補足

再度ご回答どうもありがとうございました。
1.(X+2)(Y+2)=2Z
2.XY=Z
3.2X+2Y=20
1よりXY+2X+2Y+4=2Z
2よりZ+2X+2Y+4=2Z
3よりZ+24=2Z
Z=24　確かに面積がでました！

回答No.5

debut

もとの長方形の縦をｘ(cm)とすると、横は10-ｘ(cm)です。
両辺に２cmずつ足した長方形は、縦ｘ＋２(cm)、横12－ｘ(cm)だから
(ｘ＋２)(12－ｘ)＝２ｘ(10－ｘ)　という式が立ちます。
これを整理すれば因数分解でできます。

補足

x^2+10x+24=0より
(x+○)(x+△)=0
賭けて24、足して10になる値を考えると
4,6が成り立つから式の解は4,6で
元の面積は24ということでよいですか。
なるほど、確かに解の公式を使うまでもないですね。

回答No.4

ymdmshr

^2は使いませんよ。
もう少し基本に返って考えてみましょう。
<周>とは？
長方形の面積のも求め方は？
絵を描いてみると分かるのではないでしょうか。
(X+2)(Y+2)=2Z　この式の意味が分かりますか？

補足

ご回答ありがとうございます。
長方形の面積の求め方は縦*横で
周の二分の一=縦+横
(X+2)(Y+2)=2Zは
(縦+2)(横+2)=2(縦*横)
答えはでたようなんですが、簡単に計算する考え方にまだ至って
いないようです。ymdmshrさんの^2を使わないというところに
ヒントがあるようなのですが、どう考えてよいのかわかりません・・・

回答No.3

pyon1956

この問題の場合、
（増加した面積）＝（周の長さの半分×2+2^2)
（cm^2)です。式の2はすべて2cmのこと。絵を描いてみれば、増加した分は幅2cmの道と考えて、角の分だけ一辺2cmの正方形、とすればよいので。これが加わって元の面積の2倍になるので・・・・
とやれば小学生でもいけるかな？

なお方程式でやるなら#2さんのアドバイスからx,yを出して、積xyを求めましょう。

お礼

himajin3500さん,aco_michyさん,pyon1956さん,ymdmshrさん
ご回答どうもありがとうございました。
補足欄、お礼欄を計算のし直し等で使ってしまったので
この場を借りて改めて御礼を申し上げます。
解答に至ったのでそろそろ質問を締め切ろうと考えておりますが
解の公式を使わずに簡単に解答に至る方法がまだ分かっておりません。
どなたか、教えていただけるとすっきりして質問を締めることができるので
解答込みで簡単に考える方法と計算式を載せていただけると大変助かるのですが
お願いできないでしょうか？

補足

重大な勘違いをしていました。
周囲20cmってことは計算で使うx,yは10cmのうちから計算しなければならないということですね(汗）もう一回計算しなおして見ます

回答No.2

aco_michy

２点ほど
１．周の長さが20cmの長方形
　　ｘ，ｙが縦と横の長さのようですが、
　　そうすると
x+y=20
ではなく、
2x+2y=20
ではないでしょうか。

２．あと元の長方形の面積は、x^2ではなく
　　ｘｙではないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。みなさんのアドバイスで計算し直して
みて解答に行き着きました。
色々回答をみるともっと簡単に考えることができそうなので
もう少し考えて見ます。
縦をx,横をyとすると
x+y=20/2=10=y=10-x・・・(1)
(x+2)(y+2)=2(xy)・・・(2)
(1)より
(x+2)(10-x+2)=2x(10-x)
(x+2)(12-x)=20x-2x^2
12x-x^2+24-2x=20x-2x^2
-x^2+10x+24=-2x^2+20x
x^2-10x+24=0
解の公式より　10±√100-4*24 / 2
= 10±√100-96　/ 2
= 10±2　/2
= 12/2,8/2
=6,4
検算　2(6+4)=20,6*4=24
　　　(6+2)(4+2)=8*6=48
　　　48/2=24から元の面積は24cm^2

補足

ああ、#１さんのほうへの補足要求に間違いが（汗）
y=20-xでしたね
２．から　解答は10+2√14　＊　10-2√14　が正しいということに
なりそうですね。（解が10±2√14であっているのが前提ですが）

回答No.1

noname#20377

誤り。

ヒントだけ。

#答え言う方がポイントもらいやすいが

問1:
「xとyは、それぞれ何ですか？」」
問2:
「周の長さが20cmの長方形の長さはいくつですか？」

お礼

ああ、また間違いが・・・
100-(2√14)^2は
100-4*14で100-56=44のほうが正しい気がします
書く欄がなかったのでここに書かせていただきました。
遅くなりましたがご回答感謝いたします。
正答までお願いできると助かります。

補足

問1:
「xとyは、それぞれ何ですか？」
＞xは20以下、yはx-20
問2:
「周の長さが20cmの長方形の長さはいくつですか？」
＞20cm
もう少しヒントを頂けると助かります。
解が10±2√14)^2
とするとxが10＋2√14で、yが10-2√14で
これを賭けたものが答えで
100-(2√14）^2
=100-28=72cm^2が正解でいいでしょうか？