連続型確率変数の確率密度関数

質問

分数が出てくるとどうしてもわかりません。
図書館で何冊も本を借りたのですが，同じような問題がありません。
良かったら，教えてください。

f(x)=a(1－x/5) (0≦x≦5)
f(x)=0　（その他）

(1)aの値を求める
(2)Xの平均を求める
(3)分散を求める
(4)中央値を求める

よろしくお願いします。

回答No.2

ssmarugoo · ベストアンサー

ルートだと間違って見てました。すみません。

∫〔0～5〕a(1-x/５）dx＝1

a∫〔0～5〕1dx－ｘ/５＊a∫〔0～5〕xdx=a〔x〕[0～5]-１/５a＊〔1/2x~2〕[0～5]=１

5a-1/5＊25/2=1

よって、a=7/10　・・・答え

分数は、∫の前にもってくるといいです。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/derivative.htm

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅くなりました。
実はさっきまで，解答してくださったのを見てずっと（恥）解いていました。
その中で
∫〔0～5〕a(1-x/５）dx＝1から
　　　　　↓
a∫〔0～5〕1dx－１/５＊a∫〔0～5〕xdx　になるのがわからなかったのですが
参考ＵＲＬを貼り付けてくださったおかげで，参考になりました。
それから他の問いにもお答えくださっていたのですね。すみません。
ここまで解答してくださったので，大分助かります！
今から，お答え頂いた（１）の答えから他３問を解いてみようと思います。（すぐに一番新しく解答してくださった解き方を見てしまうと思いますが・・・）

補足

何度も質問してすみません。

5行目の

5a-1/5＊25/2=1

のところの1/5は

5a-1/5a＊25/2=1
と1/5に“a”は付かないのでしょうか？

回答No.5

ssmarugoo

>
5行目の
5a-1/5＊25/2=1
のところの1/5は
5a-1/5a＊25/2=1
と1/5に“a”は付かないのでしょうか？

付きます。間違っていました。a=2/5になりますね。
となると、（２）（３）も計算結果は違います。
すみませんでした。m(__)m

お礼

いえいえとんでもないです。
ここまでしてくださったおかげで，とても助かりました。
もう少し頑張って解いてみようと思います。
何度もお返事してくださり，本当にありがとうございます。

回答No.4

ssmarugoo

もしかしたら、（２）や（３）わからない場合、参考にしてください。

（２）a=7/10　より、f(x)=（7/10－7/50ｘ）

平均（期待値）はE（X)＝∫〔0～5〕ｘf(x)dx　です。

＝∫〔0～5〕7/10（ｘ－１/５ｘ^2）dx＝途中計算省略＝35/12 ・・・答え（間違ってたらゴメン）

（３）分散V（X)＝E（X^2)-〔E（X)〕^2 です。

E（X^2)を求めます。
E（X^2)＝∫〔0～5〕X^2f(x)dx=途中省略＝175/24

分散V（X)＝E（X^2)-〔E（X)〕^2=175/24-1225/144
=-175/144・・・答え（－がついてる？計算間違えていると思います。）

（４）中央値は自分でよろしく

回答No.3

ssmarugoo

↓
a∫〔0～5〕1dx－１/５＊a∫〔0～5〕xdx=a〔x〕[0～5]-１/５a＊〔1/2x~2〕[0～5]=１

でした。書き間違えました。
答えは間違いではないと思います。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

回答No.1

ssmarugoo

（１）∫〔-∞～∞〕f(x)dx=∫〔-∞～0〕f(x)dx＋∫〔0～5〕f(x)dx＋∫〔5～∞〕f(x)dx=∫〔0～5〕f(x)dx＝1

意味わかりますよね？区域ごとにわけてください。
よって、∫〔0～5〕a(1-x√５）dx＝1

・・・この範囲以外は確率０ですから、そしてこの範囲が全ての確率ですから１です。

あとは、計算するのみ。

a∫〔0～5〕1dx-√５a∫〔0～5〕xdx=a〔x〕[0～5]-√５a1/2〔x~2〕[0～5]=１

よって、５a-√５a＝１

答え：a=5+√５/20

aが求まったので、あとは、公式どおりに当てはめてください。

補足

早速の解答ありがとうございます。
私の基礎知識が全く足りないので間違った質問かもしれないのですが
もしかしたらf(x)=a(1－x ／5）のところの
x/5（5分のx）を→√5（ルート5）として
計算されていらっしゃいませんか？
もしそうでしたら，紛らわしい書き込みの仕方をしてすみませんでした。
分数でのやり方がわからないのです。
もし良かったら，引き続きアドバイスお願いします。