０÷０はなぜ、１ではないのですか？

質問

Ｘ÷０の解を不能
０÷０の解を不定
と言うのは、過去の質問を見て分かりました。

その中の回答で、０÷０が矛盾があると書いてあるものがありました。
なぜ、矛盾あるのですか？
n/n=1 ではないのですか？
こういう書き方をする場合、数学では0をのぞくと明記するのでしょうか？
何度も似たような質問が出ている事ですが、よろしくお願いします。

回答No.9

kevin23 · ベストアンサー

まず0+0=0は成り立ちます。だから0/0はもしかすると（0+0)/0かもしれませんし、(0+0)/(0+0+0)かもしれません。n/n=1であるので

(0+0)/0は(2×0)/0=2×(0/0)=2
(0+0)/(0+0+0)は(2×0)/(3×0)=(2/3)×(0/0)=2/3

みたいな感じになると思います。ただどちらの場合も普通はより単純な計算式にするために0/0と表記します。さらに言うと0/0はいくらでも変形が可能です。これは0+0=0が成り立っているからです。
自分自身同士を足して自分自身になるものは０以外にありません。だから、０の場合は他の数値とは違った扱いをするので慎重に考える必要があると思います。（０は他の数値と同じ扱いをすることのほうが多いかもしれませんが）

5/5,4/4,,,,の延長に n/n があるという考え方はよいと思いますが、必ずしもそのような仮定が正しいとは限りません。
例えば二乗、三乗というものがあります。
2^3は2×2×2=8
2^2は2×2=4
2^1は2

2^0は？
２が一回もかけられていないから、初めてこれをみた時は０だと思いました。しかし、答えは１です。左辺の規則性を見ると０のように見えるかもしれませんが、そうではなく1/2倍になっている右辺をみると答えがでそうです。
また僕が知っている限りで０と同じように振舞うのは０の他に∞だけだと思います。

お礼

プログラムの世界には、nullと言うものがあります。
というので、何となく私の中で納得できました。
0は、特殊な数字。
ありがとうございます。

回答No.13

oxbridge1985

グラフもやはり分母が０になる場合はありません。簡単な例では反比例のグラフ。

質問者さんがどこまで深く数学を学んでいるのかわからないので、深入りはやめておきます

回答No.12

adinat

n/n=1(ただしn≠0)と書かなくてはならないのか、とのことですが、まったくその通りです。0で割り算することはできません（というより0での割り算は定義されていない！）

足し算や掛け算や引き算はすべての実数に対して定義することができますが、割り算だけやや特殊で、0以外のものでしか割れないのですね。

そうすると0とは特殊な数だ、という気がしてきますが、実際0はどんな数とも掛け算すると0になるという特殊な性質があるんですね。これは他の実数にはない性質です。そういった事情があって（0での割り算を無理やり考えてしまうと、すべての実数が0に等しくなってしまう）割り算するときは0で割ってはいけないのです。

お礼

n/n=1(ただしn≠0)と言うのは分かりました。
グラフはどうでしょうか？
グラフの書き方にもよるとは思いますが、現実問題としてどのように対処するのでしょうか？
ありがとうございます。

回答No.11

marsmaru

すいません,補足です.

n/nの延長に0/0となり,その値が1になるというのは,
ある意味,極限の概念で正しいです.
ただ,0/0と書くのは避けたほうがいいです.

No.10の最初の文で,0/0という記述がまるであるかのように振舞いましたが,
実際はそのように記述しません.
わかりやすさのほうを最優先したので,
「0/0が1のときもある」
という書き方をしました.

混同させてしまって申し訳ありません。

お礼

1/1、0.9/0.9から、0/0に至るグラフを書く際のグラフ。
実際に数学の場面で、　n/n=1　と書く際、0は除くと書くのかが、まだ少し疑問ですが、解決できました。
ありがとうございます。

回答No.10

marsmaru

0/0が1のときもありますが,必ずなるとは限りません.

(n-1)^2/(n-1)に,n=1を代入してみましょう.
そうすると,0/0となります.
もし,Oyaji75さんが正しいことになれば,1となるはずです.

ところが,(n-1)^2/(n-1)=(n-1)となるので,
これにn=1を代入すると,0となります.
これは矛盾ですよね。

さて,これのどこがいけなかったのでしょうか？
実は,0/0=1としたことよりも,n=1という操作がまずいのです.

数学には極限という概念があります.
矢印「→」であらわし,
「n→0」と書くと,nが0に近づくと読みます.
実際の操作は,n=0と同じなのですが,少し考え方が違います.
n=0とすると,nに0をいきなり入れるという意味です.
n→0のように,極限であらわすと,だんだんと近づいていく,ということをあらわすので,
n/n　n→0であれば, 0.1/0.1 , 0.01/0.01 , 0.001/0.001 ・・・という感じになります.
確かに,これは1になります.

さて,先ほどの,
(n-1)^2/(n-1)の問題を考えてみましょう.
n=1ではなく,n→1としてみましょう.
そうすると,
(1.1-1)^2/(1.1-1)=0.1
(1.01-1)^2/(1.01-1)=0.01
(1.001-1)^2/(1.001-1)=0.001
・・・
となり,どんどん0に近づいていく様子がわかります.

では,ここからはちょっと難しい話になります.
分数では,分子と分母がそれぞれ極限で0になる場合,
どちらのほうが0に速くなるか,という関数の収束の速さという議論が必要になります.
簡単に言いますと,分子のほうが速く0に近づく場合,何かある値になり,
逆に分母のほうが速く0に近づく場合,±無限大となります.
この速さという概念は,ただの代入ではわかりません.
極限というものを使うからこそわかる事柄です.

上の例で考えてみましょう。
分子に1.1,1.01,1.001と代入してみましょう.それぞれ,
0.01,0.0001,0.000001となります.
今度は分母に同じ数を代入してみましょう.それぞれ,
0.1,0.01,0.001となります.
分子のほうが速く0に近づいているのがわかりますね.

結論です.
4/2や5/2などの解は全て一意的です.
しかし,0/0というのは既に上げた通り,一意的な解をもちません.
よって,0/0=1というのは誤りです.

わからないところがあれば,
具体的にあげていただけるとありがたいです.

お礼

＞分数では,分子と分母がそれぞれ極限で0になる場合,
＞どちらのほうが0に速くなるか,という関数の収束の速さという議論が必要になります.

確かに、分母が100、10、1、0と小さくなるのに、分子が1000から始まるのか、10から始まるのでは、最終的に分母分子が0になったとしても、結果が著しく変わってきます。
0/0が一意的な解を持たない事、0/0=1に矛盾がある事は分かりました。
ありがとうございます。

回答No.8

BLUEPIXY

0/0 が有理数でその値が１だと仮定する。
ある数ａに１を掛けたものは、ａになるはずであるが
ａ×（０／０）＝（ａ×０）／０＝０／０＝１
となって矛盾する

お礼

ちょっと気がつきた事がありました。
プログラムの世界には、nullと言うものがあります。
nullは変数に値が入っていない、未定義と言うものですが、0にもこのnullの側面もあると思いました。(厳密には、違っているのかもしれません。
確かに、0/0は矛盾します。
ありがとうございます。

回答No.7

adinat

なんだか分かってもらえなかったなぁ．．．

＞では、なぜ 1=0 と認めないのですか？
別に認めないなんて一言も書いてません。

ただ、一応1=0と認めたくはない根拠はあるんです。それは馬鹿げているように聞こえるかも知れませんが、「つまらないから」なんです。1=0であれば先にのべたように、すべての数は0に等しくなります。そんな何もかも0に等しい数学なんてつまらなくないですか？何の意味のある議論もできないんですよ。

数学というのは論理的に完璧である必要があると同時に、応用のためのものでもあるんです。種種雑多な自然現象、社会現象に広く適用できる道具でもあるんですね。だから論理的に完璧だからといっても、あまりにつまらない数学になってしまうようなことは、（もちろん考えて悪いというわけではないにせよ）なるべくなら避けたいのです。それに1=0ならわざわざ“1”とか“0”とか異なる記号を用意する必要もないですよね。やっぱり1と0が違う数であるからこそ、まともな数学になるんですね。たとえば実数から実数への関数というものを考えて、微分したり、積分したり、あるいは方程式を解いたり、などなど。で、そういう数学を作るためには0で割ることは認めちゃいけないんだ、とそういう文脈だったのでした。

お礼

申し訳ありません、数学の事をあまり知らないので、その誤解や曲解もあるかもしれません。
＞0で割ることは認めちゃいけないんだ
というのは、大前提なのでしょうか？
それとも、n/n=1と論文で書く時は、ただしnは0をのぞくと明記する補足事項なのでしょうか？
ありがとうございます。

回答No.6

funoe

No3です。

参考ＵＲＬの「定義」の項をご覧ください。
あるいは群論の教科書を書店で立ち読みすればすぐに納得いただけるでしょう。

>あるかどうかはしりませんが、０以外でも定義に当てはまる数値があれば、割り算ではないと。

有理数体や実数体では０以外にこのような数はありません。
高校で習う「行列」のことをご存知でしたら、「逆行列をもたない行列」はお分かりでしょうか？
このような行列は、割り算の除数（分母に来る数）にはなりません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95

お礼

>>あるかどうかはしりませんが、０以外でも定義に当てはまる数値があれば、割り算ではないと。
>有理数体や実数体では０以外にこのような数はありません。

補足、ありがとうございます。
ただ、あるかないかは、私の興味からは外れているので、そう言う書き方をしました。

回答No.5

Willyt

０では割算ができないことは百も承知の上の質問ですよね？　だとすれば貴方はなかなか鋭いところに気付いていますよ。分母と分子がが無限に小さい数であるときには無限に小ささの程度によって０から無限大までの間のいろんな値になりますよ。少しレベルの高い数学を学と極値という考え方があることを知るようになります。

お礼

5/0,4/0,,,,の延長に n/n があるのなら納得できます。
でも、5/5,4/4,,,,の延長に n/n とするのなら納得できません。

5つの果物を0人で分けるのが、変なのは分かっています。
しかし、そうなると5つの果物を-2人で分けるのも変な事な事です。

私は数学を本格的に勉強した事がないので、いくつかの事が整理できずにいるのですが、0/0、n/n(n=0)が納得できていないのは確かです。
ありがとうございます。

回答No.4

adinat

世の中、代数を知らない人がほとんどなので、こんなこと書いてもすぐ無視されてしまうんですが、0で割り算することをきちんと定義することは実は可能なのです。

もともと割り算というのは、二つの実数の比を意味するものでした。つまりa/bというのはa:bのことを意味するのです。さて比とは何でしょうか？よく知っているようで知らない。だからきちんと定義する必要がありますね。実数a,bの比とは、実数a:bと書かれる実数の組のことで、比が等しいこと（つまりa:b=c:d）をad-bc=0で定義します（ここは読み流して欲しいことなのですが、まともな数学ではもう少し厳しい条件を置きます。この定義は0で割ることも許す数学での話しです）。だからkを0以外の実数とするとき、a:b=ka:kbなので、a/b=(ka)/(kb)が成り立つのです。これは普通は小学校以来知っていることになっている通分と呼ばれるものです。でも今定義した、比が等しいという定義。よくよくみるとa:b=0:0ではありませんか？a*0-0*b=0となっていますよね。だからa:bは0:0に等しいのです。すなわち0で割ってもよい数学を考えたければ、a/b=0/0を認めないわけにはいかないのです。

これは実は結構恐ろしいことでして、0で割ってもよい（あるいは0との比を取ることを許す）と0:0=1:0や0:0=0:1が成り立ったりします。だってa:b=0:0でa,bは何でもよいのですから！これが何を意味するかというと、1:0=0:1が成り立つということです（ともに0:0に等しいから！）。結局、もともとの比が等しいという定義に戻って1:0=0:1をみてやると、
1*1-0*0=0
というやや信じがたい結論を得ることになります。つまり1=0なんです！！

もう一度かいつまんで概略を述べると、通常皆さんもおっしゃるように、実数を0で割るという操作は認めません。ただほんとうに0で割り算するような数学ができないのかというと、それも間違いで、0で割り算をしてもよい数学はきちんと作れるのです。だけど、それをすると、通分に相当する比が等しいという条件を見てやると1=0という結論が導かれます。つまり0で割り算してもよい数学というのは1=0が成り立つ数学だけなのだ、ということなのです。もし1=0が成り立つとすれば、両辺を実数a倍して、a=0という式を得ます。つまり0しかない世界になるのですね。もし数が0しかなければ、0+0=0、0-0=0、0×0=0、0÷0=0となって、0で割り算してもいいんです。もう一度強調しておきますが、0で割り算をしてもよい数学を考えたければ、すべての数が0に等しいと考えざるを得ないのです。もし0以外に0とは等しくない異なる数がある世界を考えたければ、そこでは0で割り算することはできなくなります。0以外の数があることに矛盾するからです。

お礼

比率は、確かにそうです。
私が言っている、同じ数字と同じ数字の比率なら、それは１になります。
天秤で５グラムのものと５グラムのものが釣り合うように、０グラムのものと０グラムのものは釣り合います。

では、なぜ 1=0 と認めないのですか？
数学の事はよく知りませんが、○○が××な時この式を・・・と条件を付ける事もあると思います。
となるなら、××な場合は 1=0 とルールに記載しないのでしょうか？
例え、1=0でも、説明がしっかりしていれば、間違ってはいないと思うのですが。
ありがとうございます。

回答No.3

funoe

a*ｘ＝ｂ　となる　ｘが、「唯一定まるとき、かつそのときに限り、」ｘをb/a（ｂ÷a）とする。
っていうのが、数学での除算の定義なんです。

たとえば、ａ＝３で、ｂ＝６のとき
３＊ｘ＝6　となるｘって、２以外にないから、６÷３＝２なんです。

今、ａ＝０でｂ＝１のとき、
０＊ｘ＝１　となるｘって、存在しないですよね。
「存在しない」ってことは、「唯一定まる」となっていないんです。
だから、１／０って、定義されていないんです。
以前の回答やいろんなＨＰに「不能」なんて書いてありますが、
それは間違いで、正確には「未定義」です。

一方、ａ＝０で、ｂ＝０のとき、
０＊ｘ＝０となるとなるｘって、なんでも良いですよね。
「なんでも良い」ってことは、やっぱり「唯一定まる」となっていないんです。
だから、０／０ってのも、定義されていないんです。
以前の回答やいろんなＨＰに「不定」なんて書いてありますが、
それも間違いで、正確にはこれも、「未定義」です。

冷たい書き方をしますが、０での除算を「不定」や「不能」というなんて回答やHP
の説明は、なまじ高校までの数学を学んで、極限操作を学習したばかりの初学者が
Lim(x→0)（ｙ→0）ｘ/ｙ　が不定であることや、
Lim（ｙ→0）１/ｙ＝∞　で発散する（実数値をとらない）ことを誤って０での割り算に
拡張して覚えてしまった、ガセネタです。
０での除算はあくまでも「未定義」です。

お礼

なるほど、割り算にも
『a*ｘ＝ｂ　となる　ｘが、「唯一定まるとき、かつそのときに限り、」ｘをb/a（ｂ÷a）とする。』
と、言った定義がある、と。
その定義に入っていない場合は、割り算ではない、と。
あるかどうかはしりませんが、０以外でも定義に当てはまる数値があれば、割り算ではないと。
そう定義されているのであれば、なんら疑問はありません。