極限と上限・下限

質問

I=[0,1)とする。
(1)x∈Iに対して　lim(n→∞)x^n を求めよ.
(2)lim(n→∞)｛sup(x∈I)x^n｝を求めよ.

こんにちは、今年から大学生になったものです。大学の数学の授業がなかなか理解できず、困ってしまったので質問を投稿しました。
(1)については、高校までの知識でなんとかなるのですが、（つまり、0≦x＜1より解は0）
(2)については、上限がいまいち理解できず、お手上げです。
一応自分の回答を載せてみます。

x^nはI上単調増加だから、0^n≦x^n＜1^nすなわち0≦x^n＜1
ゆえsup(x∈I)x^n =1
従ってlim(n→∞)｛sup(x∈I)x^n｝=1

数学に詳しい方がいらっしゃったら、解説をお願いします。

回答No.4

alice_38 · ベストアンサー

質問文中の貴方の考え方でよいのですから、
単に♯2の誤答を忘れれば済む話ですが…

x∈I の範囲の全ての x について x＜a＜1
となるような一個の実数 a は、存在しません。
ということは、x＜a＜1 と置いたならば、
その a の値は x の値ごとに別々だということ、
a は定数でなく、変数だということです。

元々、a が定数であろうが、変数であろうが、
x~n＜a~n から直接導かれるのは
sup(x~n)≦sup(a~n) です。
この式の sup が x∈I の範囲に関する sup
であることから、a が x によらない定数であれば、
sup(a~n)=a~n になるだけなのです。

a が x に依存するのなら、
a＜1 から sup(a~n)=1 となって、
sup(x~n)≦sup(a~n) は確かに成立しますが、
それ以上何も分かりません。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
とても理解が深まりました。

大変勉強になりました。

回答No.3

alice_38

だから、♯1 で確認したのですが…

x＜a＜1 と置いたのならば、
これを満たす a は x ごとに異なります。
∀x∈I,x＜a＜1 となるような定数 a は
存在しません。よって、
x~n＜a~n から sup(x~n)≦sup(a~n) とはできても、
sup(x~n)≦a~n とはできません。

∀x∈I,x＜b となるような b があれば、
sup(x~n)≦b~n がいえますが、
そのような b は、b≧1 の範囲にあるので、
♯2 のハサミウチは成り立ちません。

質問文の解答で、いいんですよ。

補足

不出来なもので申し訳ありません、なかなか混乱してきました。
そもそも、その条件を満足する定数 a というものが存在できないのだから、a^n という形も当然存在できない、ということでよいのでしょうか。

回答No.2

humungus

a∈I,x＜aとする

0≦x^n＜a^n＜1

0≦sup(x^n)≦a^n＜1

0≦lim(n→∞)sup(x^n)≦lim(n→∞)a^n＜1

0≦lim(n→∞)sup(x^n)≦0＜1

お礼

なるほど、いわゆるはさみうちですね.

ありがとうございます.

回答No.1

alice_38

考え方も、答えも、
その通りだと思います。

limsup(n→∞) x~n ただし x∈I
という問題では、ないのですよね。

補足

はい、異なります。
見にくくなりますが、二行使って書くと、

　lim　 　sup 　 x^n
n→∞　x∈I

となります。