逐次近似

質問

次の計算の方法を教えてください。

{x^4*exp(x)}/{exp(x)-1}^2　　の定積分の方法

逐次近似方以外のものなら、手法の名前だけ教えていただくだけでも結構です。

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

第10項までの和だと1/10^4 すなわち3～4桁めに誤差が出てくる可能性があります。そこで第100項までの和を計算すると下のように数値積分との一致が良くなりました。

τ　数値積分　　第100項までの和
1　 0.2248053　 0.2248032
2　 1.176343　 1.176341
3　 2.552218 　2.552216
4　 3.877054 　3.877052
5　 4.899891 　4.899890
6　 5.585855 　5.585853
7　 6.003168 　6.003167
8　 6.239623 　6.239622
9　 6.366573 　6.366572
10 　6.431922　 6.431920

お礼

わざわざ計算結果まで、ありがとうございました。

回答No.3

grothendieck

逐次近似で計算するというのがよく分かりませんが…
不定積分は初等関数で表わされないのでいずれにしても近似的に表わすことが必要です。

　∫[0～τ]dx x^3/(exp(x)-1)
= ∫[0～τ]dx x^3Σexp(-nx) (n=1～∞)

と書き換えると、右辺で積分と和の順序を交換して、

　Σ∫[0～τ]dx x^3 exp(-nx)
=Σ(6-exp(-nτ)(n^3τ^3+3n^2τ^2+6nτ+6))/n^4
和はn^(-4) のように減少するので、有限項で打ち切って近似とすることができます。数値積分した結果と第10項までとった結果の比較を下に示します。

τ　数値積分　第10項までの和
1 0.2248053 0.2230883
2 1.176343 1.174623
3 2.552218 2.550499
4 3.877054 3.875334
5 4.899891 4.898172
6 5.585855 5.584135
7 6.003168 6.001449
8 6.239623 6.237904
9 6.366573 6.364854
10 6.431922 6.430202

思ったより一致が悪いのでどこか間違っているのかもしれません。

回答No.2

grothendieck

積分区間は0～∞でよろしいのでしょうか。

∫[0～∞]dx {x^4*exp(x)}/{exp(x)-1}^2
= 4∫[0～∞]dx x^3/(exp(x)-1)

と変形すると、この積分は一般化された留数定理で計算できます。
　f(z) = exp(iζz)/(exp(z)-1)
とおいて、点(0,0), (R,0), (R,i), (0,i)を結ぶ積分路で積分しR→∞とすることにより、

∫[0～∞]dx sin(ζx)/(exp(2πx)-1)
= (1+exp(-ζ))/2(1-exp(-ζ))

が示されます(小松勇作、梶原譲二「詳解関数論演習」(共立出版)p.163)。この式の両辺をζのベキ級数に展開し、次数の等しい項を比較することにより、
　∫[0～∞]dx x/(exp(x)-1)= π^2/6
　∫[0～∞]dx x^3/(exp(x)-1)= π^4/15
　∫[0～∞]dx x^5/(exp(x)-1)= 8π^6/63

などが示されます。

補足

回答ありがとうございます。No１のかたの補足にあるように、できれば積分の上限が∞ではないときの方法をお願いします。

回答No.1

siegmund

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2144283
の私の解答，ならびにリンクをご覧下さい．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2144283

補足

ありがとうございます。PolyLogを使うという考え方は参考にしたいです。
すでに気づいておられるように、デバイ則の計算なんですが、両極限の計算の仕方はわかっているのですが、中間部分の計算がどのように行われているのかがわからなくて質問しました。コンピュータでやれば一発なのですが、具体的にどのような計算が行われているのか（おそらく逐次近似なのだと思いますが）ご存知でしたらお願いします。