マクローリン(近似)

質問

マクローリン展開をして{e^(x)-e^-(x)}/2=x,
{e^(x)+e^-(x)}/2=1+x^2/2となぜこのように近似できるのかわかりません。どなたか近似方法や計算過程等を示していただけないでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

マクローリン展開は次の式となります。
f(x)=f(0)+f'(0)(x/1!)+f''(θx)(x^2/2!)　(0<θ<1)
f(x)={e^(x)-e^-(x)}/2 とすれば
f(x)=x+f(θx)(x^2)/2

したがって近似式の誤差は
|(f(x)-x)/f(x)|=|f(θx)/f(x)|(x^2)/2
ここで詳細な議論は省きますがf(x)は単調増加関数ですから0<θ<1により、|f(θx)/f(x)|≦1 となります。
すると、誤差の程度は次式になります。
|(f(x)-x)/f(x)|=(x^2)/2

例えば x≦0.1とすれば誤差(x^2)/2 は0.005すなわち、0.5％以下になります。
当然、xが大きな値では全く近似になっていません。

お礼

遅くなって申し訳ありません！解説どうもありがとうございました。とても分かりやすかったです。

回答No.2

Sisyphe

e^x＝1+x+x^2/2+x^3/6・・・＝Σx^n/n!
e^(-x)＝1-x+x^2/2-x^3/6・・・＝Σ(-x)^n/n!

高次のｘを無視すれば題意の通りになると思います。

余談ですが、１式目をsinhx（サインハイパボリック）２式目をcoshx（コサインハイパボリック）と呼び、sinxとcosxの間に成り立つような美しい性質があります。

また、y=coshxは、ヒモの両端を持ってぶら～んとさせた時のヒモの形（懸垂線・カテナリー）で、かのガリレオはこの懸垂線を放物線だと思い込んだとか込まないとか。近似すれば放物線なんですから、ガリレオもあながち的外れではなかったかも知れませんね。

お礼

遅くなって申し訳ありません！解説どうもありがとうございました。ガリレオの話面白そうですね。

回答No.1

BLUEPIXY

e^x=1+x/1!+x^2/2!+…+x^n/n!
ですから、xに-xを入れたものとそのままのものを足し引きして何項目まで（１項目、２項目）と決めれば質問のようになると思います。

お礼

遅くなって申し訳ありません！解説どうもありがとうございました。