有名な行列式

質問

こんにちわ☆彡
人名のついた有名な行列式（○○行列式）を教えてください！！よければ、一般形（サイズｎ×ｎ）での行列式と、その行列式の計算結果がどうなるかも教えてもらえたら嬉しいです。
よろしくお願いします(>_<)

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

(1)フレドホルムの行列式
　フレドホルム型積分方程式を解くのに使われます。フレドホルムの研究はヒルベルトに受け継がれ、関数解析学が誕生しました。ここで詳細を書くことはできないので、
　リース・ナジー「関数解析学」、共立出版
などを参照されて下さい。
(2)ハンケル行列式
　関数空間上の線形汎関数 J[] があるとき、k次のモーメントSk=J[λ^k]から作られる行列式
Dn=
｜s0　s1　・・・・・・・・・sn｜
｜s1 s2 ・・・・・・・・・sｎ+1｜　　　　　　
｜・　　　　　　　　　　　　　・｜　　　　　　
｜・　　　　　　　　　　　　　・｜
｜sn・・・・・・・・・・・・・s2n｜
をハンケル行列式と呼び、直交関数系の理論で基本的です。またハンケル行列式はモーザーによる戸田方程式を線形化して解く方法で使われました。

参考書:Robert Vein, Paul Dale;Determinants and their applications in mathematical physics, Springer(2006)
(3)パフィアン
パフィアンは行列式を一般化したものであり、行列式のラプラス展開、シルベスターの定理、プリュッカーの関係式、ヤコビの恒等式等はパフィアンによって拡張され、統一化されます。数学ではパフィアンはソリトン等の非線形編微分方程式の厳密解の表現手段としてなくてはならないものとなっています。物理では例えば量子ホール効果においてfilling fractionが1/2のランダウ準位の基底状態としてPaffian stateが用いられますが、今後さらに様々な分野で用いられると予想しています。
　Caieniello ; Combinatorics and Renormalization in Quantum Field Theory (Benjamin,1973)
では場の量子論の組み合わせ論的な議論にパフィアンが使われています。
(4) Van Vleck 行列式
　古典的作用をScl としたとき、Van Vleck 行列式は
　det[-∂^2 Scl/∂qi∂qj]
で定義されます。Van Vleck 行列式は伝播関数を準古典展開したときの第2変分を表わすのに使われます。

参考URL：

http://arxiv.org/abs/hep-th/9303020

お礼

丁寧な回答ありがとうございます（*^_^*）
参考にさせていただきます☆彡

回答No.1

noname#21219

『バンデルモンドの行列式』というものがあります。
(崩れていますがn×nです)
｜１　１　・・・・・・・・・・１｜
｜ｘ1 ｘ2 ・・・・・・・・・ｘｎ｜　　　　　　
｜x1^2 x2^2・・・・・・・・xｎ^2｜　　　　　　
｜・・・・・・・・・・・・・・・｜
｜x1^(n-1) x2^(n-1)・・xn^(n-1）｜

＝(-1)^{n(n-1)/2}Π(i<j)(xi-xj)

お礼

ありがとうございます☆彡
参考にさせてもらいます(^^♪