行列のｎ乗

質問

2*2の行列A
( 1 a )
( 0 -1 )
のn乗を求める問題なのですが、対角化を用いて計算しました。
固有値が±sqrt(1+a)
固有ベクトルがそれぞれ
( a )
( -1±sqrt(1+a) )
となり、
これを用いて計算した結果
A^nは行列
(-1 -a)
(1 1 )
に
(1+a)^((n-0.5)/2)を掛けた
(1+a)^((n-0.5)/2)　(-1 -a)
　　　　　　　　　　 　(1 1 )
という形になりました。
形としてはそれなりにすっきりしているため、合っているように思うのですが、
この問題が数分で解くことを前提に作られているため、
もっと簡単な方法がある気がします。
また、答えも正しいかどうか不安です。

計算方法、答えを教えて頂ければ幸いです。

回答No.5

kyabetsu-in · ベストアンサー

大学受験的な説明で恐縮ですが、参考にして貰えたら嬉しいです。
レベルが低くて、気分を害したならばすいません。下の説明は全て私自身が使いやすいように整理したものですので、断定口調でありながら普遍的に通用しないのも多々あると思います。参考程度ということでお願い致します。

そもそもまず当り前のことなのですが数学の問題を解くに当たって何を求めるか、を確認致します。
今回は行列のn乗を求めよ、とあるので、n乗を求めたい行列が、どんな行列であるのか？を確認致します。
行列によっては簡単に早くn乗を求めることができるような特殊な行列があるからです。
それを踏まえて本問ですが、3角行列という特殊な行列を見逃してはいけません。

(↓↓3角行列とは↓↓)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97

問題のn乗を求めよ(誘導無し)、という目的と、この3角行列、という知識の両方があって初めて数学的帰納法という解法をとると考えます。
3角行列なら、自分で1乗2乗3乗・・・としていくうちに、n乗の形が簡単に予想できるようになっているからです。(しかも行列に0が複数個(今回は1個)入ってるので乗の計算も楽である事が最初から見えてます。)
決してなんとなく数学的帰納法を用いたら偶然解けた!というわけではありません。
3角行列を発見したらもう帰納法で上手くいくことはやる前から分かっています。
本問においては上のことをやり、先の回答者様方の説明を考慮すると、後は自分でできるかと思います。

又蛇足ですが、n乗を求めたい行列がどんな行列か？を考えねばならない、と上で述べましたが、3角行列の他に気をつけてみておくべき行列は、対角行列、回転行列があります。
この3つの場合は特にn乗が楽に早く求まる場合ですので、行列のn乗を求める際はこの３つを常に意識しておくことが肝要です。それぞれ簡単な問題を解いておくと理解がより体系的に深まるかと思われます。

つまり、まとめると。
行列のn乗を求める際は、その求めたい行列が三角行列、対角行列、回転行列であるかどうかに常に気を配ると早く求まる場合がある。

又、ここらへんは意見が分かれると思うのですが、誘導無しで(大学受験的で申し訳ない)かつ上の3つの特別な行列以外の場合のn乗を求め方としてしては、上の方が述べてるように分割法が早いかと思われます。
少なくとも私はそのように解法を整理しております。
ただし分割法の場合、HC定理の式が重解の場合は少し工夫が要りますが・・・。

お礼

行列のn乗というのは常に対角化によって求めると思っていました。
あなたの説明を聞いて、行列のn乗の問題の解き方にはいろいろな種類があることを学びました。
次からはまずどんな問題かをよく考えてから解こうと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.4

eclipse2maven

そもそも　固有値から違っています
1 -1 です

eigenvector は　
1 -a
0 2

です。

お礼

自分の計算過程を見なおしたら間違いに気づきました。
訂正していただき、ありがとうございました。

回答No.3

eclipse2maven

上三角行列は　何回かけても　上三角のはずなんですが。。。

ボレル部分群ですから

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
「数分でかたをつける」となると、試行錯誤した方が早いかと。

高校数学の範囲であれば、
この手の問題は「数学的帰納法」に持ち込まれることもしばしばありますね。
ですので、2乗、3乗あたりまで計算しても見て推測してから、帰納法で示すという方法もあります。

ただ、いまの問題、2乗を計算した時点で、
ほとんど計算が終わっていそうな気がします・・・。

お礼

もう少し、問題をよく見て成分が少ないのであれば、直接計算してみることも検討していみます。
ありがとうございました。

回答No.1

japaneseda

固有方程式の解が２つあるのなら、対角化だけでなく
ドッキング法やスペクトル分割、割り算の恒等式を利用した方法もできるはずですから、それで確認すればいいと思います。

とりあえず感想としては、偶数と奇数で分けてみては？