周回積分の値

質問

固体物理学をやっているものです。
キッテルを読んで独学でフェルミ面を勉強しているのですが、数学で1つわからない部分があり、質問させていただきます。

それは、周回積分∫ｒ×ｄｒ＝２Ｓ
となる部分です。（r,drはベクトルです。また、Ｓとは囲まれた部分の面積です。）
内積の形の積分はすぐにイメージできるのですが、外積の形になっている式ではどうもイメージがわかず、うまく考えられません。
友人共々先に進めずに困っており、どなたかご回答いただければ幸いです。

回答No.2

grothendieck

∫ｒ×ｄｒ = ∫ｒ×v ｄt

と書き直しましょう。ここでv=dr/dt は速度ベクトルです。惑星運動のケプラーの法則の所で、「(1/2)ｒ×v は微小時間dtの間に動径ベクトルrが掃く面積」ということをやったはずです。

回答No.1

atomicmolecule

先ず円の場合を理解しま　しょう。rの始点を円の中心にとって
|r×dr|　=　sin(θ)|r||dr|　です。これは微小面積の公式Ｓ＝底辺（微小）×高さｒ/２　と比べるとr×drは微小面積に比例して、方向は微小面積の作る平面に垂直です。つまりこれを積分すると面積になりますが、三角の面積の公式のときの2分の1が抜けていますからそれを補正してください。

これが理解できたら、次はｒの始点をどこにとっても円の面積が出てくることを理解してください。理由はベクトルの始点は動きませんから

r=x-o 　で　dr=dx

oは始点。　

r×dr=x×dx - o×dx

ですが、二項目のo×dxの部分は閉じた経路に沿って積分するとdxがベクトルであることと、oが定数であることより、一周してゼロ。つまりこの計算に始点は関係ないことが分ります。

最後にどんな形の場合でも成立するかどうか。簡単のために楕円で考えてみてください。微小面積の場合にはわかりますよね？楕円だろうが、もっと複雑な曲線だろうと　ｒ×drは微小面積になりますよね。すると面積は微小面積のたしあわせだから、一般の場合にも成立するはずです。