積分

質問

高校2年の積分の証明で
f(x)に囲まれたaからxまでの面積をS(x)としたとき Δxまでの面積はS(x+Δx)
xからΔx間での面積はS(x+Δx)-S(x) それとxからΔx間での間に面積が等しくなるようtを置いたら
Δx・f（t）＝S(x+Δx)-S(x)
f（t）＝S(x+Δx)-S(x)/Δx
Δxを0に近づけると Δx→0
f’(t)=f(x)=limS(x+Δx)-S(x)/Δx

「面積ゼロの長方形」，つまり線が，f(x)の滑らかな線に沿って累積していく
という感じで，区間[x,a]で面積を滑らかに構成していくのです。

ということですが微分したら広がるって言うのがよくイメージがうまくわきません。

例えば単位のm/sは1秒に1mとわかりやすいですし、微分もy'はΔy/Δxを意味してる。
では積分はというとよくわからないです。
反対だからという証明で殆どの式は出していませんよね。

積分はもともと面積を出すためのものなのに
Sを微分したら等しかったからこれなら戻せば面積が出せるじゃんと
おまけのような気がして本来の積分の意味を逸脱している気がします。
普通の証明はf(x)に代入して変形したら面積の式になっていたというのに。

この証明方法はこういうものなんでしょうか。

回答No.2

noname#96505 · ベストアンサー

もう少し補足。この証明方法は高校まではたしかにこの方法ではあるが、でも本質的な証明でない。高校までは証明というより証明はおおざっぱに理解しておいてとにかく意味を理解しているかしていないかなので。それから積分というのは不定積分と定積分があって不定積分をもとにして定積分を出す。だから積分とはという意味については本来定積分
から面積を求めているのであって、ある関数を区間を微小に分割した区間によって全て足し合わせることです。

回答No.3

arrysthmia

x が x1 から x1+△x までの部分の面積 △S は、
(その範囲での f(x) の下限)・△x ≦ △S ≦ (その範囲での f(x) の上限)・△x
ですから、
a から x までを △x ごとに区切って、この式を適用したものを、全てΣし、
△x→0 の極限をとれば、ハサミウチの原理から面積が求まります。

このハサミウチの両側が収束することや、その値が不定積分の差に一致すること
の証明は、高校範囲では無理なので、大学用の教科書を使って勉強して下さい。
特に、「定積分が不定積分の差で表されること」は、「微積分学の基本定理」といって
（理論的には）大変重要なものです。理論は度外視して、計算だけできればいい
人にとっては、「そんなもんだ」と覚えておくだけのことですが。

＞ 積分はもともと面積を出すためのものなのに

その考え方は、あまり勧められません。
１次元の関数の積分を、２次元の図形と結びつけて考えていると、例えば、
３次元の物体の重心を求めるような計算のときに、４次元のイメージが必要になって、
想像が追いつかなくなります。１次元の積分には、１次元のイメージを持ったほうが良い。
位置 x での密度が f(x) であるような針金の質量を求めている…とでも考えては？

回答No.1

noname#96505

ひとつひとつ書いてったら大変なので大ざっぱに説明します。まずね微分積分の大事な要素として近似です。lim(x→0)はxが0ではないが本当に0といっていいほど小さい値だということ。例えばこの問題においてはまず区間[a,x]についてｎ等分分割してS(a),S(a＋Δ1)....S(a＋Δn)=
S(x)とします。そうするとΔxf(t)=S(x＋Δx)-S(x)を何度も利用すれば
Δ1f(t1)＋Δ2f(t2)＋・・・・＋Δｎf(tn)=S(x)-S(a)となって、今度はｎ→∞とすれば各分割において0に近づくわけです。ただしa≦t1≦a＋
Δ1,・・・a＋Δn-1≦tn≦a＋Δnである。分かりにくい説明でありますが
これがヒントかな。