情報数学(修正版_(._.)_)

質問

いまベクトルをやってるのですが A(3,0,4) B(-3,0,-4)C(0,10,0)D(-8,5,6) (1)三角形ABCの面積 (2) 四面体ABCDの体積 を内積、外積使ってだせと いう問題なので すが(1)は50とでたのですが(2) が 500/3らしいのですが高さがわかりませ ん どなたか教えてください お願いします_(._.)_

質問に間違いありました_(._.)_すみません

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

ベクトルをAB↑のように「↑」で表わすことにします。

(1)
AB↑=(-6,0,-8)
AC↑=(-3,10,-4)
S=|(AB↑)×(AC↑)|/2
=|(-6,0,-8)×(-3,10,-4)|/2
=|(80,0,-60)|/2=√(80^2+60^2)/2
=50

(2)
AD↑=(-11,5,2)
V=|((AB↑)×(AC↑))・(AD↑)|/6
=|(80,0,-60)・(-11,5,2)|/6
=|-880+0-120|/6=1000/6
=500/3

となり(1),(2)とも答えと一致します。

>(2)高さがわかりません
高さhは
V=△ABC*h/3
=(1/2)|((AB↑)×(AC↑))・(AD↑)|/3
=(1/2)*|{(|AB↑|)*(|AC↑|)(|sin∠BAC|)*(n↑)・(AD↑)}|/3
ここでn↑は高さ方向（AB↑とAC↑に垂直な方向）の単位ベクトルです。
V=(1/2)(|AB↑|)*(|AC↑|)*|(sin∠BAC)|*(|(n↑)・(AD↑)|/3
=Sh/3
ここで
S=(1/2)(|AB↑|)*(|AC↑|)*|(sin∠BAC)| が三角形の面積です。
(|AC↑|)*|(sin∠BAC)|が△ABCの高さに当たります。
h=(|(n↑)・(AD↑)|が三角錐の高さ（Dから△ABCに下ろした垂線の長さ）に当たります。

回答No.3

alice_44

それでよい。
ヒントがちゃんと理解できたようだね。

回答No.1

alice_44

幾何的に高さを求めてもいいけど、
体積 = (1/6)(ベクトルAB×ベクトルAC)・ベクトルAD
でもいい。
(1/2)ベクトルAB×ベクトルAC が、
△ABC の面積を長さに持ち、
平面ABC に垂直なベクトルになるから、
ベクトルAD を内積することで、
高さを掛けたことになる。

情報数学？