周回積分がわかりません・・・

質問

ベクトルAがA=i(x-y)+j(x+y)のとき周回積分∫A・dsを求めよ。i、jはベクトル、dsのsは微少変位ベクトル。
積分路Cはy=2x^2とy=2xで囲まれる周回路とする。
ヒントが与えられていて、「グラフを書くとxに関して範囲がわかります。また、dxとdyの関係は・・・」というヒントです。
僕的には、xに関してだけではなくyに関しても範囲はわかると思うのですが、yの範囲は使わないのでしょうか？
詳しい方、お教え願います。

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

時計回りか反時計周りかによって、答えが変わるような気がしますが、
まあそれは置いておいて・・・。
ds=idx+jdyと、y=2x上なら、y=2xとdy=2dxを代入すれば普通の積分に変わるので、それを計算すれば解けます。yの範囲は使わなくても解けますね。
参考までに書くと、y=2x上なら、
∫A・ds=∫(i(x-y)+j(x+y))(idx+jdy)
=∫(x-y)dx+∫(x+y)dy
ですね。

お礼

ありがとうございます。
反時計回りで積分だったと思います
y=2x^2上だとdy=2d^2x（dy=2dx^2？）を代入すればいいのでしょうか？

回答No.3

looker1986

周回積分の記号は周回積分ではなくなった時点ではずします。
つまりy=2x^2とy=2xで囲まれる周回路上の周回積分を、y=2x^2,(0→x→1)とy=2x,(0→x→1)上の線積分に分割するときに外します。

お礼

度々の質問に回答していただき、ありがとうございました。
理解できました！

回答No.2

looker1986

いえ、y=2x^2なら、xで微分して、dy/dx=4xなので、dy=4xdxとなります。実際にはy=2x^2から直接、積の微分公式を使ってdy=4xdxが導かれます。
別の考え方だと、y=2x^2の両辺をtで微分して、dy/dt=4xdx/dtなので、両辺にtを掛けて、dy=4xdxと考えても良いかもしれません。
数３でやった置換積分の問題と言えば分かりやすいでしょうか。

お礼

なるほど。
ということは、yに2xを代入しxが1～0で積分したものと、yに2x^2を代入しxが0～1で積分したものを足せばよいということですね。(分数が出てキレイな数字にはならなそうです・・・笑)
周回積分の記号はずっとつけたままでないといけないのでしょうか？
再度の質問すみません。