関数論の質問です。

質問

ｆを０、１、１＋i、iを頂点とする開長方形Ｄで正則かつＤバーで連続とする。もしｄＤの各点でｆが実数値をとれば、ｆはＣ全体に解析接続され、したがって、定数関数であることを示す問題で図をかいて考えてもなかなか解答できません。アドバイスください。

回答No.1

majimiko · ベストアンサー

ｄＤを∂Ｄ（領域の境界）と解釈します。
その上で手順だけ書くと

１：まずCR方程式より境界近傍での函数の挙動はどうなってますか？
　　言い換えると、領域内部から境界へ向かっての片側（偏）微分の境界上の値はどうなってますか？
２：上の結果に最大値の原理を適用すると？

補足

ん～考えたのですがわかりません。

回答No.2

majimiko

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)と2変数実函数で書きます。
境界上では常に実数値しか取らないので、境界近傍では虚部が常に０付近にあり、ほとんど変動しないとみなせます。さらに境界まで連続なので内点から境界へ向かっての（偏微分の）片側極限が取れて境界上では実際に０とみなせます。（正則性と連続性から従います）
これをCR方程式の形式で書くと
∂u/∂x=∂v/∂y=0
となります。これが意味するところは境界上では実部にも変動はないと言うこと、つまり境界上でf(z)は定数です。
最大値の原理から境界上で定数値を取る正則函数は定数しかありません。つまりf(z)は領域とその境界上で定数です。
最後にＣ全域に解析接続して終わり。
（定数函数だから簡単にＣ全域に接続できる）