関数の近似

質問

今フーリエ解析を学習しているのですが、
Ｆが連続で緩やかに減少するならば

　∞　　　　　　　　 　　∞
∫ Ｆ(ξ)dξ　＝　lim δ　Σ Ｆ(nδ)
　-∞ 　　　　 δ→0　 n=-∞

を示したいのですが、自分なりには近似を行い、
積分を
∫Ｆ 積分区間を-NからNまで、

和を
δ　Σ　Ｆ(nδ)
　|n|≦N/δ
で近似していけば良いのかと考えましたが、うまくいきませんでした。

どなたかこの問題の分かる方のご回答をお待ちしております。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。
>今フーリエ解析を学習しているのですが、
そうですか。

フーリエ解析は、周期関数における合成や分解、解析に用いられる数学的手法です。具体的には、自動車のオーディオ製品に搭載されている、スペクトラムアナライザー(通称：スペアナ）にも見られるように、ある周期関数の合成で成り立つ波動の解析に用いられます。

さて、ご質問の件ですが、
>Ｆが連続で緩やかに減少するならば
ならば、一般の積分に帰結することで可能です。

つまり、一般積分はフーリエ解析を含む系（公理系）なのです。
ちょっと難しいのですが、次の書籍で勉強することをお勧めします。

*高木貞治, 解析概論
*高橋礼二, 新版複素解析
*林一道, 初等関数論

たぶん、大きめの本屋さんならば置いてあります。