どこがいけないのでしょうか？２

質問

「任意のa,b∈R(実数)に対して|a+b|≦|a|+|b|」を示す。
［証］与えられた命題を否定すると、或るa,b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|。そこでa=1,b=-1を考えるとa+b=0,|a|=|b|=1。
よって|a+b|>|a|+|b|は矛盾。よって与えられた命題は成立する。
上記証明には問題点があるそうなのですが何がいけないのか教えてください。

回答No.11

take008 · ベストアンサー

あなたの証明（主張）を整理すると，こういうことだと思います。

背理法で示そう。
　与命題の否定は，在a,b(|a+b|>|a|+|b|)…(1)
　a=1,b=-1 を考えると，(|a+b|>|a|+|b| でない)…(2)
　(1)と(2)は矛盾
したがって，与命題は正しい

しかし，(2)から言えることは
　ゆえに，在a,b(|a+b|>|a|+|b| でない)…(3)
であって，(1)も(3)も「在a,b」なので矛盾しません。

どちらかが「全a,b」なら矛盾していますが。。。

回答No.12

mirage70

或るa,b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|の或るa,b∈Rが誤り。
全てのa,b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|が成立するとしたときに、a=1,b=-1を考えると矛盾。よって|a+b|>|a|+|b|は成立しないとなります。しかし、|a+b|>|a|+|b|がa=1,b=-1以外では、成立するかもしれないが、とりあえず、全てのa,b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|が成立すると言う事はないといえます。

簡単なものを考えてから、整理した方がよいと思います
同じやり方をしますと、
「任意のx∈R(実数)に対してx^2-5x+6≦2x」を示す。
与えられた命題を否定すると、或るx∈Rに対してx^2-5x+6>2x。そこでx=2を考えるとx^2-5x+6=0,2x=4。
よって^2-5x+6>2xは矛盾。よって与えられた命題は成立。
となってしまいます。現実は、これでないでしょ。

回答No.10

YomTM

背理法と対偶、命題の否定等を、整理して考えていただければわかると思います。

　ある命題Ａの対偶はＡと真偽が同じですので、待遇を証明すれば、Ａを証明したことになります。

　今回の場合は、Ａの否定が誤っていることを証明して、Ａが正しいことを背理法により証明しようとしています。これ自体、間違った方法ではありません。

　間違っているのは、「或るa,b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|」が誤っていることを証明したいのに、「或るa,b∈Rに対して|a+b|≦|a|+|b|」という当たり前のことを証明している点にあります。

　ウィキペディアが参考になるかと。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E

回答No.9

freedom560

＞或る実数a=1,b=-2すると、|1-2|=1,1-2=-1で成立。
＞或る実数だからこのように適切でない組み合わせがある。
＞こういうことですか？
そうです。今回はたまたま「任意のa,b∈R(実数)に対して|a+b|≦|a|+|b|」が真なのであなたの考えで正しいように錯覚してしまうかもしれませんが、あなたのロジックでは「任意のa,b∈R(実数)に対して|a+b|＝a+b」のように偽の命題に対しても真であるかのように説明してしまうのです。

その理由はあなたが書いたとおり「適切でない組み合わせがある」から。皆さんが一生懸命「あなたは１つの場合を調べただけで全てを調べたわけではない」と説明されていますよね？

回答No.8

magmi-shi

質問者さんは
「或るa，b∈Rに対して|a+b|>|a|+|b|」…(1)
という命題を否定することで，元の命題が真であることを証明しようとしてますよね。しかし，(1)の命題を否定するということは，結局，否定の否定で元の命題を証明することに戻ってしまいます。
つまり，質問者さんの方法では，a=1，b=-1という特定の組み合わせに対して|a+b|≦|a|+|b|を証明しているに過ぎないのです。

回答No.7

pocopeco

命題の否定が矛盾していても、もとの命題が必ず成立するという法則はありません。

なので、命題をそのまま証明するのがよいと思います。
証明方法は、今までの回答を参考にすればよいでしょう。

回答No.6

freedom560

現在あなたが考えているロジックで
「任意のa,b∈R(実数)に対して|a+b|＝a+b」を証明します。

［証］与えられた命題を否定すると、或るa,b∈Rに対して|a+b|≠a+b。そこでa=1,b=1を考えると|a+b|=2,a+b=2。
よって|a+b|≠a+bは矛盾。よって与えられた命題は成立する。

この証明の問題点はどこだと思いますか？

補足

或る実数a=1,b=-2すると、|1-2|=1,1-2=-1で成立。
或る実数だからこのように適切でない組み合わせがある。
こういうことですか？

回答No.5

kabaokaba

命題A：
任意の実数a，bにたいして
|a+b|≦|a|+|b|

の否定だから，

ある実数a，bが存在して
それらは|a+b|>|a|+|b|を満たす

これを言い換えると以下のようになります．

|a+b|>|a|+|b|を満たす実数a，bが存在する

この命題（命題Bとします）が
偽であることを示す必要があります．

ここで，特定のa，b，a=1,b=-1としますが，を
もってきて，a+b=0，|a|=|b|=1としても
命題Bが偽であることの証明にはなりません．

命題Bが真であることを証明するならば
特定のa,bを見つけてきて，条件を満たすことを
示せばよいのですが，
今回は「常に偽」であることを示すので，
特定の値で偽であることを示しても，
その特定の値で偽なのあって，
他の値はどうなの？全部調べたの？
と突っ込まれます．

＃要は他の方がおっしゃってることと同じです
＃＃二重否定なので結局同じなんです

回答No.4

noname#24477

「あるa,bに対して成り立つ」かどうかを吟味しなければいけないときに
あなたは「あるa,bに対して成り立たない」ことを示してい
るだけです。すべてのa,bに対して成り立たないことを示さ
なければいけません。
その意味では、この問題に関しては否定を作ることは役に
立っていないといえます。

「ある・・・」の言葉の意味をもう一度お考えください。

回答No.3

mirage70

a=1,b=-1では、与えられた命題は成立する。
と、言えますが、他の数ではどうかの説明ではありません(常に成り立つことを言わなければなりません)。

|a+b|≦|a|+|b|の両辺を二乗してみてはいかがですか?
a,bが異符号の時が出てきます。

補足

＞他の数ではどうかの説明ではありません(常に成り立つことを言わなければなりません)。
或る実数a,bなので特殊なa,bの反例がひとつでも見つかればいいのではないのですか？

回答No.2

chicken_man

それは |a+b|>|a|+|b| が常に成り立つわけではないと
証明されただけです。
ほかの(a,b)では成り立つかもしれません。

これの証明の仕方は両辺を二乗します。
|a+b|、|a|+|b|はどちらも正なので二乗しても
等符号の向きは変わりません。

|a+b|^2＝(a+b)^2＝a^2 + 2ab + b^2

(|a|+|b|)^2＝|a|^2 + 2|ab| + |b|^2
　　　　　 ＝a^2 + 2|ab| + b^2

ab≦|ab|なので　
|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2　⇒　|a+b|≦|a|+|b|
となり証明できます。

補足

＞それは |a+b|>|a|+|b| が常に成り立つわけではないと
証明されただけです。
ほかの(a,b)では成り立つかもしれません。
　なぜそういえるのですか？