任意の実数とは？

質問

１Ａの青チャートの論理と集合を今やっていたところです。

命題：「任意の実数ｘ、yに対してx^2-4xy+4y^2>0」の否定の真偽を調べよという問題がありました。これの『任意』の否定が分かりません。
解答では、否定：「ある実数x、yに対してx^2-4xy+4y^2≦0」となっていました。つまり『任意の実数』の否定が『ある実数』との事ですが、つまり『任意の実数』＝『すべての実数』ってことです…か…？
国語が苦手なもので…
いまいちイメージが湧きません。
解説してもらえますか？
いざとなったら暗記しようと思いますが、すぐ忘れそうなので記憶に残る解説お願いします！

どうかよろしくお願いします！

回答No.3

foomufoomu · ベストアンサー

No.1を少し言葉を変えただけの回答になってしまいそうですが。。。

任意の実数＝実数の中からどれを選んだとしても（以下の式は成立する）
ある実数＝実数の中から特定のものを選んだ場合に（以下の式は成立する）

という意味でつかわれています。
命題と否定とで不等号が逆になっているのは気が付いていますよね？

お礼

おぉ！分かりやすい解説ありがとうございます！
感謝です。
不等号は大丈夫です！
ほんと助かりました。

回答No.4

foomufoomu

よく見たら、No.1と私の答えは違いますね。
もう少し補足します。
命題と否定の関係は、けっこう難しいですよ。条件をよく見ないとウラにはまります。機械的に覚えたのではだめです。

この場合、命題では「任意の実数」と言っています。これは「すべての実数」と考えてもよいです。厳密には「すべての実数の中から好きなものを選んだら」という意味です。

命題では「任意の」と言ってしまっているので、「そんなことはない」と「否定」するには、ひとつでもそうならない例をあげればよいです。
「任意の鳥を捕まえてきたら、それは空を飛べる」という命題を否定するには、だちょうを「一羽」捕まえてくるだけでよいわけです。
それが、「ある実数」なわけで、こちらは、すべてを指す必要はないのです。

このような問題は、命題にどういう言葉が使われいるか、それを否定するにはどうすればよいか、を慎重に考えないといけません。

お礼

なるほど…
命題の見る目が変わりました。
命題の文章と否定した文章の意味の関係性までじっくり吟味する必要があるのですね。今のうちにそうゆう力を養いたいと思います。
質問してよかったです。

回答No.2

eeb33585

任意＝どんなものでも好きなものを・・・という意味
全てを言ってるわけではありません

「・・・・」の否定＝「・・・・」の反対のもの
例えば、教室に男女混合の生徒が居たとすると、
男子生徒数の否定＝クラス生徒総数-男子生徒総数＝女子生徒数

回答No.1

afromaniakud

「任意」は「すべての」という意味でいいと思います。

もう少し詳しくいうと、「すべての実数の中で適当に選んだ」という意味です。

なので、命題は、すべての実数の中で適当に選んだ実数ｘ、ｙについて、x^2-4xy+4y^2>0を否定するものは何か、という意味です。

答えは、x^2-4xy+4y^2≦0を満たす実数、です。これを書き方を変えると、ある実数x、yに対してx^2-4xy+4y^2≦0、になります。「ある実数」という言葉の「ある」は抜いても言葉としておかしくないので、実数x、yに対してx^2-4xy+4y^2≦0を答えとして書いてもOKです。

ですので、「任意の実数」の否定が「ある実数」ではないです。書き方の違いだけかな。

こう書くとわかりやすいかもしれない。

命題：実数ｘ、ｙに対してx^2-4xy+4y^2>0を満たすものの否定は何か。
答え：実数ｘ、ｙに対してx^2-4xy+4y^2≦0を満たすもの

これでも同じ意味です。

お礼

とても詳しい解説ありがとうございます！！
すごく大事なことをいくつも書いてもらっているので、何度も読み直します。
これからもよろしくお願いします！