交点

質問

・y=(π/2)sin(x)
・x=(π/2)sin(y)
の交点はどうやって求めればいいですか？
ご存知の方お教えください。

回答No.1

postro · ベストアンサー

それぞれのグラフを描けば、(-π/2,-π/2)、(0,0)、(π/2,π/2) の3点で交わりそうな予想は簡単につきます。でもそれだけじゃああんまりだから・・・・。
・y=(π/2)sin(x)　・・・A
・x=(π/2)sin(y)　・・・B
A,Bより
-π/2≦x≦π/2
-π/2≦y≦π/2
は明らか。また、AとBは互いに逆関数の関係にあるから、その2つのグラフは直線 y=x に対して対称である。そこで
0≦x≦π/2
0≦y≦π/2
の領域で考える。
f(x)=(π/2)sin(x) -x とすると
f'(x)=(π/2)cos(x) -1
f''(x)=(-π/2)sin(x)
f''(x)は　0＜x＜π/2　において常に負なのでここでは、f(x)は上に凸である。また、f(0)=0 ,f(π/2)=0 より
f(x)=0 は、x=0, π/2 以外に解はない。別な言い方をすると、
0＜x＜π/2　において、常に　(π/2)sin(x)＞x
ここでAとBの2つのグラフは直線 y=x に対して対称であることから　0≦x≦π/2　において　(0,0)、(π/2,π/2) 以外に交点はないといえる。
よって交点は予想通り(-π/2,-π/2)、(0,0)、(π/2,π/2) の3点である

お礼

大変分かりやすい説明をありがとうございました。