２円の交点を通る円

質問

高校数学で２円f(x,y)=0,g(x,y)=0の交点を通る円は、ｋをパラメータとして、
kf(x,y)+g(x,y)=0
と教えていますが、高校生にはちょっと難しいようです。円kf(x,y)+g(x,y)=0が、２円f,gの交点を通ることは理解できるようようですが、f,gの交点を通る任意の円が、kf(x,y)+g(x,y)=0と表記できることを理解させるにはどうすればよいでしょうか。

回答No.5

noname#47975 · ベストアンサー

Ｏ(0,0),Ａ(a,b)（ｂ≠０、ｂ＝０の場合は割愛します。）の２点を通る円の方程式の一般系を考えると、円の中心は、線分ＯＡの二等分線上にある事から、二等分線の方程式はy = -a/b(x-a/2) + b/2なので、
中心のｘ座標をtとおくと、中心の座標は、(t,-a/b(t-a/2)+b/2)と
なります。

ここで、円の方程式は、

(x - t)^2 + (y-{-a/b(t-a/2)+b/2})^2 = t^2 + {-a/b(t-a/2)+b/2}^2

より、

x^2 - 2tx + y^2 + 2{(a/b)t-(a^2/2b+b/2)}y = 0－－－－(1)

になります。すなわち、Ｏ、Ａの２点を通る円の方程式は、全て、
(1)の形式で表されます。

ここで、f(x,y) = 0をt=t1, g(x,y)をt=t2と置くとき、

f(x,y) = x^2 - 2t1x + y^2 + 2{(a/b)t1 -(a^2/2b+b/2)}y = 0
g(x,y) = x^2 - 2t2x + y^2 + 2{(a/b)t2 -(a^2/2b+b/2)}y = 0

kf(x,y) + g(x,y) =
(k+1)x^2 - 2(kt1+t2)x + (k+1)y^2 + 2(a/b){(kt1+t2) -(k+1)(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------ (2)

k=-1ならばkf(x,y)+g(x,y) = 0は直線になるので、k+1≠0のみ
について考えればよい事から、(2)式の両辺を(k+1)で割れば、

x^2 - 2(kt1+t2)/(k+1)x + y^2 + 2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------- (3)

ここで、

t = t3となるようなkの値が存在するかを確認すれば、
g(x,y) = x^2 - 2t3x + y^2 + 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y = 0
(3)式と恒等的に等しくなるには、

-2(kt1+t2)/(k+1)x = -2t3x－－－－－－－(4)
2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y－－－－－－－－－－－(5)

(4)より、
(kt1+t2) = t3(k+1)
(t1-t3)k = t3-t2
k = (t3-t2)/(t3-t2)
(5)も同様の方程式になるので、
t1≠t3となるようなkの値は存在する事がいえます。
すなわち、t1≠t3となるような任意のt3に対応する円の方程式は
kf(x,y) + g(x,y) = 0と表す事が出来ます。
なお、t1=t3となるようなt3のときの円の方程式は、f(x,y)=0になるので、
これは、kf(x,y)+g(x,y)=0の形式では表せません。

お礼

ありがとうございます。

補足

ていねいに計算して頂き、ありがとうございます。
ところで、ｋの幾何学的意味は何でしょうかね？

回答No.4

Mr_Holland

＃２です。

＞ｋf(x,y)+g(x,y)=0は、fとgの線形結合が０ということであり、fとｇは線形従属であることを意味しているように見えます。

　kf+g=0が任意のｋに対する恒等式であることを失念されていませんか。ｆとｇは互いに線形従属になるということにはなりません。
　どんなｋの値でも常に成り立つということが重要です。方程式と同じように捉えないで下さい。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

Quattro99

kf(x,y)+g(x,y)=0、k≠-1が2円の交点を通る円（f(x,y)=0を除く）を表していることは交点を代入すると成り立つのですぐわかります。
一方で、2円の交点を通る円（f(x,y)=0以外）を考えたとき、交点以外のその円上の点をどこでもいいので1つkf(x,y)+g(x,y)=0に代入するとkが定まります（その点ではf(x,y)≠0）。
すると、その時、この方程式はその円を表す方程式ということになります。どの「2円の交点を通る円」でもkが求まりますから、任意に表すことが出来ていることになります。

お礼

ありがとうございます。

補足

確かに、f(x,y)=0の円外の任意の点であれば、ｋが求まりますので、そのことから、「f,gの交点を通る任意の円を表すことができる」と結論できそうですね。

回答No.2

Mr_Holland

kに関する恒等式の逆を使ったと説明したら、いかがでしょうか。
　たとえば、任意のkに対して常に恒等式：kf+g=0が成り立つこととf=g=0とは同値なので、f=g=0は即ち恒等式：kf+g=0が成り立つといってはいかがでしょうか。（必要ならば、証明を示して）
　そして、kf+gをｘとｙで表したとき、
　　ax^2+bx+ay^2+cy+d=0　（ただし、a(b^2+c^2-4ad)>0　）
という円の方程式の形に変形されることを示されてはいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。

補足

ｋf(x,y)+g(x,y)=0は、fとgの線形結合が０ということであり、fとｇは線形従属であることを意味しているように見えます。このことは、線形代数的には、どのように解釈すればよいでしょうか。また、ｋの幾何学的意味は何でしょうか。

回答No.1

rui2007

別にf(x,y),g(x,y)が円でなくてもいいと思いますが、
f(x,y)もg(x,y)も共に0なので、
kf(x,y)+g(x,y)が0になるのは式の上で簡単にわかると思います。
あとは、f(x,y)とg(x,y)にそれぞれ＝０になるように
円の方程式を代入して、＝０の形で解いてあげて
それを円（直線の場合もありますよね）の
形(以下の式)になるように解けば良いだけだと思いますが・・・
x^2 + y^2 + lx + my + n ＝ ０

お礼

ありがとうございます。

補足

そうですね。