log(cosθ)の積分

質問

log(cosθ)の積分を教えてください…。
置換など試してみたのですが、どうもうまくいきませんでした。

∫log(cosθ)dθ

回答No.5

puni2 · ベストアンサー

>これは、数学の問題集に載っていた問題の導出過程で出てきた式です。

なるほど。うまく変換しないと，∫log cosが出てきて，行き詰まってしまうわけですね。

せっかくですので，No.4の式はどうやって出てきたか，ごく大ざっぱなあらすじだけ書いておきます。

まず，log (cos x)をテーラー展開しますと，こんな式になります。
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/06/06/0001/index.html
（ところで，質問された方は高校生でしょうか？　だとしたら，この時点ですでに高校数学の範囲を超えていますので，こんなものだと思って眺めてください）

この無限級数（多項式）のそれぞれの項を積分して，足し合わせた無限級数が，No.4で書いた式になります。
ただ，無限級数をばらして積分して，それらを足し合わせたものが，もとの関数を積分したものに等しいという保証はないので，それは別に調べる必要があります。

ちなみに，今紹介したページは，No.1さんの紹介されたサイトを眺めていて見つけた，公式集の中からとりました。
http://functions.wolfram.com/
現在，87000個以上の公式が置いてあるそうで，これは便利です。

回答No.4

puni2

これは普通の積分ではできないのではないでしょうか。
手元にあったOxford Users' Guide to Mathematicsというハンドブックをみると，この関数の積分が載ってはいましたが，それは次のような無限級数に展開されたものでした。

∫ln (cos x) dx = -x^3/6 - x^5/60 - x^7/315 - …

一般項は，次のようになります。ただしB[n]はベルヌーイ数です。

-{2^(2n-1))・(2^(2n-1)－1)・B[2n]}/{n(2n+1)!} ・x^(2n+1)

回答No.3

tuort_sig

>log(cosθ)の積分を教えてください…。

log(cosθ)の積分は∫log(cosθ)dθです。これ以上何もする必要は無いんです。だから、頻繁に使うようであれば自分で勝手にLC(θ)＝∫log(cosθ)dθとでも置いて、LC(θ)として扱えばいいのです。ただし、この場合LC(θ)は不定積分ではなく原始関数となることに注意してください。

全ての関数が積分計算できるとは限らない、その一例ですね。

回答No.2

vibe

これは置換じゃなくて
積分化傾向を用いて部分積分で解けます。

回答No.1

donald_duck

私も置換で
1st：log(cosθ)＝t
2nd：cosθ＝t
が考えられてやってみましたが、出来ませんでした。
また
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
でも、やってみましたが無理でした。
参考書なども見返してみましたが同様の問題が見つかりませんでした。
悩んでしまったので、ぜひ回答が分かったら教えていただきたいぐらいです。返答できなくてすみませんでした。
後、この問題はどこの問題ですか？参考書名が分かりましたら教えてください。

お礼

これは、数学の問題集に載っていた問題の導出過程で出てきた式です。この問題では、積分範囲を適切に変換することでlog(cosθ)の計算はしなくてもよくなりました。
興味があって解いてみたかったのですが、手に負えなかったため、質問させていただきました。