tanとlogの積分

質問

いつもお世話になっています。

独学で数学を勉強し始めて、積分の範囲をやっていたのですが、
tanとlogの積分は区分求積法でも出来ず、
微分と積分が逆ということを知った後でも
基本的な関数の中でtanとlogの積分だけがわかりませんでした。

少し先を見て、部分積分をやるところでlogの積分、
置換積分をやるところでtanの積分の結果が載っていました。

私は自分で思いつく前に教科書の結果を見てしまったのですが、
logの積分で係数の1をxの微分とすることなどは思いつくものなのでしょうか？
自然な流れで思いつくのか、技巧的なのかがわからないので
皆さんの印象を教えてください。

回答No.1

m31s15 · ベストアンサー

質問者様が勉強されているのは、高校の数学IIIの範囲です。
結論としては、これは技巧的な物です。よほどの天才でないかぎり、数IIIの技は思いつきません。これまで数学を生業としてきた人たちの生み出してきたものですから。
文面を読みますと、趣味で数学を勉強していらっしゃるように思えますが、もしどうしても分からなくて、解答見ても自分では思いつかなさそうなのがあったら、それは素直に受け入れた方がいいです。「こんな技法もあるんだな」と、納得するので十分です。
数学、がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。

やはりあれは簡単に思いつくものではないんですね。
1ヶ月考えても思いつかなかったものが、
さらっと書いてあったので不安になっていました。

回答No.5

sinisorsa

sinisorsaです。
例題として提示されていたような気がします。

私の趣旨は、不定積分には、誰がどんなに考えても
既知の関数に帰着されないものがあるという事実を
理解していただきたいということです。
その場合には、その不定積分をもって新しい関数を
定義しているのです。
このような問題に遭遇したら、いくらがんばても
だめです。だめかどうかは、すでに知られている
公式を知らなければならないわけですが、たくさん
あるので、覚えきれませんから、公式集が役に立つ
わけです。
数学の分野には、いくらがんばっても解けないことが
分かっている（証明されている）事柄がたくさんあります。
数学の問題はやはり経験がものをいいます。
なぜ自分では思いつかなかったのか反省している間に
経験を積んでください。

お礼

再度の回答ありがとうございます。

> その不定積分をもって新しい関数を定義しているのです。
検索して探したら楕円積分というのが見つかりました。
こういう関数のことではないかと理解しました。

今はまったくわかりませんが、
そういう関数もあることを頭に置いておきたいと思います。

回答No.4

sono0315

>>始めて積分の定義を習ったときに
>>tan, log の積分を導くことが出来ましたか？

ということですが、公式など、積分方法を「習って」理解しました。
自身で導出などはしてません。(というよりできません^^;)

これに関しては、今の教育上誰もが、自分で導きだすより先に
公式を見てしまう、習ってしまうのが流れだと思うので、現在では
どんなに秀才、天才でも習うより先に、自分で導くというのはかなり
難しいと思いますよ。

1か月考えてlogの積分が出ないのは当たり前じゃないですかね。
私だったら3日くらいで投げ出してしまうと思います。
初めて習った高校生では「絶対に」と断言してもいいくらいですが、
安易に思いつくようなものではありません。安心してください

お礼

再度の回答ありがとうございます。

少し安心しました。
一番最初のほうで出てくる関数にもかかわらず、
その積分を求めることが出来なかったので、
定義をよく理解できていないのではないかと悩んでいました。

回答No.3

sinisorsa

少し一般的な場合を考えてみましょう。
ある関数ｆ(x)が与えられて、その不定積分を求める場合、
（１）問題として、与えられている場合には、不定積分は
　　　必ず見つかるはずです。
　（もし見つからなければ、出題がまずいことになります。
　　答えのない問題を出したと非難される）
（２）関数によっては、不定積分が今までに知られている
　　関数にならない場合があります。この場合には、
　　その関数の不定積分として、新しい関数を定義することが
　　あります。
そのため、ご自分の研究等で不定積分を求める必要が生じた場合
には、まず、たとえば、岩波の数学公式Iを見てください。
これには、かなりたくさんの関数の例について、不定積分を
求める公式が書いてあります。または、Mathematicaのような
数式処理ソフトウェアを使ってみることです。
以上　ご参考までに

お礼

回答ありがとうございます。

質問の仕方が悪かったようで申し訳ありません。
一般的な難しい関数だと積分も難しくなると思うのですが、
一緒に出てくるような x^n, sin, cos はすぐに出来たのに、
tan, log は1ヶ月ほど考えても思いつかなかったので、
初めて習った高校生でもみんな思いつくものなのかが知りたかったのです。

重ねての質問で申し訳ないですが、
sinisorsaさんは始めて積分の定義を習ったときに
tan, log の積分を導くことが出来ましたか？

回答No.2

sono0315

数学者が公式として作った当時は思いつきからじゃないですか？

今はそれが確立されてますから、「公式として使う」というだけ
なので、式の変形や、係数1をxの微分とするという機械的な作業
だからこそ技巧的に見えてしまうのだとおもいます。

お礼

回答ありがとうございます。

質問の仕方が悪かったようで申し訳ありません。
もちろん数学に限らず現在わかっていることはすべて
最初には誰かが思いついたものだとは思うのですが、
初期に出てくる関数の積分にもかかわらず
1ヶ月ほどいろんな方法で考えても思いつかなかったので、
初めて積分を習ったときに、誰でも簡単にわかるものなのかが知りたかったのです。

重ねての質問で申し訳ないですが、
sano0315さんは始めて積分の定義を習ったときに
tan, log の積分を導くことが出来ましたか？