ｓｉｎθ・ｃｏｓθの積分に付いて

質問

π/2
　∫(ｓｉｎθ・ｃｏｓθ)ｄθ
　 0

　　π/2
＝1/2∫(ｓｉｎ2θ)dθ　　　　・・・(１)
　　　0

　　　　　　　π/2
＝1/4[-cos2θ]　　　　　・・・(２)
　　　　　　　0

＝(1/4)(1+1)

＝1/2

これは、置換せずに積分できたと言う理解で良いのでしょうか？
それとも、間違いでしょうか？

(１)で、2θ＝φ　と置換した場合、(２)は

　　　　　　π
＝1/4[-cosφ]
　　　　　　0

＝1/2

式の表し方で迷うことが良くあります。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

kapranさんは、
∫(sin(nθ))dθ
が幾らになるのか、「公式」として憶えていらっしゃる。ならば、置換積分するまでもなくその公式を使う。

ところがstomachmanは
∫(sin(nθ))dθ
が幾らになるか、なんて全く記憶にございません。しかし
∫(sinθ)dθ = cosθ + C
なら知ってます。
こういう人は、置換積分をやります。やってみて
∫(sin(nθ))dθ = (cos(nθ))/n + C
という答を出す。これは「置換積分を使って、一つの公式を導いた」ということです。このように毎回、公式を導き直す。憶えられないからね。

単にそれだけの違いです。だからこの場合、置換積分を使うかどうかは、
「判断する」ような事じゃない。単に
・「公式として憶えている」→ 公式を当てはめるだけ
・「憶えてない」→置換積分でも部分積分でもフーリエ変換でも、何でも使って頑張って公式を導き直す
ということに過ぎません。

　同じ計算をやっても、岩波の数学公式集を丸暗記できる記憶力の持ち主にとっては、置換積分を使う機会はstomachmanよりずっと少ないということですね。

お礼

なるほど。。。
置換する目的がイマイチでした。(^_^;
ありがとうございます。

回答No.3

novaakira

＞置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか？
これだけはもう勉強して覚えるしかないんですね。

この問題もはじめは置換積分をしました。
ですが、後から与えられた質問をよく見てみると、
sin2θと書かれていたので、
空っぽの脳みそをフル回転させて考えてみたら、
あ、倍角の公式じゃん
ってな感じだったのです。

ですので、自分がやりやすい方法でいいと思います。
下手にどっちでやろうかなんて考えてたら
考えるだけに時間を無駄に費やしてしまいますからね。
まぁ、僕の場合は三角関数が出てきたらはじめに置換積分
やってしまいますが・・・・(^_^)

お礼

なるほど。。。
倍角の公式を使うことも、必須ではないのですね。
ｓｉｎθを、ｔと置く方法もありました。
やはり、なれる必要があると言うことですね。
ありがとうございました。

回答No.1

novaakira

π/2
　∫(ｓｉｎθ・ｃｏｓθ)ｄθ
　 0
f=sinθ、g'=cosθとすると
f'=cosθ、g=sinθとなります。
ここで、
∫(f×g')＝[f×g]-∫(f'×g)
という公式を用いると、

π/2 　　　　　　　　　　　　　π/2　　π/2　　
∫(sinθcosθ)ｄθ ＝[sin^2(θ)]　-　∫(sinθcosθ)ｄθ
0 　　　　　　　　　　　　　　0　 　0

となり、よって、
　π/2 　　　　　　　　　　　　π/2　　
2∫(sinθcosθ)ｄθ ＝[sin^2(θ)]　
　0 　　　　　　　　　　　　　0　
となり、
π/2 　　　　　　　　　　　　　　π/2　　
∫(sinθcosθ)ｄθ ＝1/2[sin^2(θ)]
0 　　　　　　　　　　　　　　　0
となります。
あとは左辺を解いて
π/2 　　　　　　　
∫(sinθcosθ)ｄθ ＝1/2
0 　　　　　　　　
となります。又は、
f'=sinθ、g=cosθとすると
f=-cosθ、g'=-sinθとなり、

π/2 　　　　　　　　　　　　　π/2　　π/2　　
∫(sinθcosθ)ｄθ ＝[cos^2(θ)]　-　∫(sinθcosθ)ｄθ
0 　　　　　　　　　　　　　　0　 　0
となり、
　π/2 　　　　　　　　　　　　π/2　　
2∫(sinθcosθ)ｄθ ＝[cos^2(θ)]　
　0 　　　　　　　　　　　　　0　
となり、
π/2 　　　　　　　　　　　　　　π/2　　
∫(sinθcosθ)ｄθ ＝1/2[cos^2(θ)]
0 　　　　　　　　　　　　　　　0
となります。
そして、これもさきほどと同様に答えは1/2となります。

しかし、こんな面倒なことをしないでも、今回の場合、
三角関数の公式を用いれば簡単です。
sin2θ=2sinθcosθ
という公式をもちいれば、
π/2 　　　　　　　　　　 　　π/2
∫(ｓｉｎθ・ｃｏｓθ)ｄθ＝1/2∫(ｓｉｎ2θ)dθ
0 　　　　　　　　　　　 　　0

となるわけです。
あとはsin2θを積分すれば、
　　　　　　π/2
1/4[-cos2θ]　　　　　・・・(２)
　　　　　　　0
となり、θに値を代入してあげれば、
与式＝1/4(1+1)＝1/2
となるわけです。
数学の公式は以下の参考ＵＲＬでも見てください。

参考URL：

http://irwin.t.u-tokyo.ac.jp/~izumi/easy/Math.htm

補足

ご回答ありがとうございます。

> あとはsin2θを積分すれば、
> 　　　　　　π/2
> 1/4[-cos2θ]　　　　　・・・(２)
> 　　　　　　　0
> となり、θに値を代入してあげれば、
> 与式＝1/4(1+1)＝1/2
> となるわけです

必要に迫られて、必要な部分だけ学習しています。(^_^;

sin2θは、置換しなくても良い(積分できる)と言う理解で良いと言うことですね。
置換するか、しないかを判断するポイントとかはありますでしょうか？