行列の問題です

質問

「行列A,Bを次のように定義する

A=「2 3 1
2 2 3
1 3 0」

B=「1 0 2
2 1 4
0 3 1」
このときA+B,A-BおよびA×Bを求めなさい。
また、｜A| および｜Ｂ｜の値を求めなさい」

という問題があるのですが、教えていただけないでしょうか。
おねがいします

回答No.3

mtt · ベストアンサー

B*A

4 9 1
10 20 5
7　 9 9

よってB*A≠A*B

A≠Bにおいて
行列の積を入れ替えて成り立つのは、どちらか一方が単位行列や自己の逆行列
など特別な場合に限られます。

回答No.2

Umada

(1)行列のかけ算は行列がどんなに大きくても同じです。ただし最初に置かれる行列の列数と、後に置かれる行列の行数は合致していなくてはなりません。
AとBの成分を書いてみます。
2 3 1　1 0 2　
2 2 4　2 1 3
1 3 0　0 3 1　
まず、行列Aの1行目の成分と行列Bの1列目の成分に着目します。
(2 3 1)と
1
2
0
です。
ちょうど内積を作るように
2×1+3×2+1×0
とかけ合わせます。これが積の行列の第1行第1列の成分になります。すなわち8です。
今度は行列Aの2行目の成分と行列Bの1列目の成分で
2×1+2×2+4×0
を作ると、同様にこれが積の行列の第2行第1列の成分になります。すなわち6です。
もうお分かりかと思いますが、例えば行列Aの3行目と行列Bの2列目からは、積の行列の第3行第2列の成分が作られます。これは1×0+3×1+0×3で、3ですね。
上記で分かった個所を埋めると
8 # #
6 # #
# 3 #
です。残りの#の個所はご自分で計算してみて下さい。

(2)足し算と引き算は簡単です。対応する各成分の引き算、足し算です。
ただし両方の行列の、行の数、列の数が一致していなくてはなりません。
ここでは
A+B=
2+1 3+0 1+2
2+2 2+1 4+3
1+0 3+3 0+1
ですので、すなわち
3 3 3
4 3 7
1 6 1
になります。
同様に引き算は
A-B=
2-1 3-0 1-2
2-2 2-1 4-3
1-0 3-3 0-1
です。

(3)行列式
|A|は行列式のことでしょうか?　行列式はちょっと大変です。3行3列くらいならまだなんとかなりますが。

●2行2列の行列
a b
c d
に対して、行列式は
ad-bc
です。これはご存じのことと思います。

●3行3列の行列
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
は次のようにやります。
1)右下がりの斜めの並びを順繰りに掛けたものを作る。
ここではa11×a22×a33と、a12×a23×a31と、a13×a21×a32です。
2)左下がりに斜めの並びを順繰りに掛けたものを作る。
ここではa13×a22×a31と、a12×a21×a33と、a11×a23×a32です。
3) 1)を全部足したものから、2)を全部足したものを引くとそれが行列式です。
a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32-13×a22×a31-a12×a21×a33-a11×a23×a32
が答えです。計算は自分でやってみて下さい。

なおこの方法は3行3列の行列にしか使えません。それ以上大きい行列では余行列式(だったかな?)というのを使って計算する必要があり、行数列数が増えると手数は加速度的に大きくなります。

*やり方は合っていると思いますが、細かい計算でミスをしているかも知れませんので検算しながら読んでいただければ幸いです。

お礼

解説付の回答ありがとうございます。

回答No.1

mtt

A+B

3 3 3
4 3 7
1 6 1

A-B

1 3 -1
0 1 -1
1 0 -1

A*B

8 6 17
6 11 15
7 3 14

|A|ならびに|B|はクラメル展開式を利用。
|A|＝-5 |B|=1

お礼

どうもありがとうございます。

補足

回答ありがとうございました。
補足といいますか。この問題の関連問題があるのですがそちらも教えていただきたいのですが。
「この問題のAとBにつき、B*Aを計算して、その行列がA*Bと等しいかを調べなさい。一般的にはA*B≠B*Aとなる。　行列の積の順序を変えてもよい」
という問題が続くのですが教えていただけませんでしょうか。
お願いします