この行列の問題を解いてください。

質問

この行列の問題を解いてください。

A=(a b
　　c d)

とする。またA・A-5A+6E=0 である。この時、a+dの値を求めよ。

回答No.2

OKXavier

ケーリー・ハミルトンの定理から、
A^2-(trA)A+|A|E=O　‥‥(1)
仮定より、
A^2-5A+6E=O　　‥‥‥‥(2)

(1)－(2)より
{5-(a+d)}A+{|A|-6}E=O‥(3)

ここで、A≠kE　と　A=kE　の場合に分けて調べる。

A≠kE　の場合は、a+d=5

A=kE　の場合、即ち　a=d=k, b=c=0　の場合は、
k(5-2k)+k^2-6=0　を解きます。
あとは、それぞれのkについて　a+d=2k　の値を求めればいい。

回答No.1

iy4iy4

A・A-5A+6E=0(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A・A-(a+d)A+(ad-bc)E=0(2)
(2)-(1)より
-(a+d+5)A+(ad-bc-6)E=0(3)
(i)-(a+d+5)=0のとき
　　(3)から(ad-bc-6)E=o
よってa+d=5,ad-bc=6
(i)-(a+d+5)≠0のとき
　　A=kE(kは実数)とおける。
　　(1)に代入すると
　　(k・k-5k+6)E=0
よって　k・k-5k+6=0
　　これを解いて　k=-3,-2
　　k=-3のときA=-3Eであるから
　　　a+d=-6,ad-bc=9
k=-2のときA=-2であるから
　　　a+d=-4,ad-bc=4
(i)(ii)より
(a+d,ad-bc)=(5,6),(-6,9),(-4,4)

計算ミスあったらすみません；；