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行列の問題です。
行列の問題です。 A^2B^2≠0であるのに(AB)^2=0であるような行列AとBの例を作れ。 よろしくお願いします。
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まず、AB=CとしてC^2=0となるCを求めましょう。 以下A,B,Cは2×2行列とする。 C= a b c d C^2=0より a^2+bc=0. ab+bd=0. ac+cd=0. bc+d^2=0. いくつか考えられますが、a+d=0としましょう。 するとa^2+bc=0なので、 a=1,b=1,c=-1,d=-1. とすることにします。もし、このa,b,c,dの取り方がダメだったら、もう一度取り直すだけのこと。 次にAB=C^2かつA^2B^2≠0を満たすA,Bを探します。 ただ探すだけなので、あとはA,Bの一例だけ書きます。 A= 1 0 -1 1 B= 1 1 0 0 とするとこれは目的の条件を満たします。
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- hourainoas
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＃２です。一部訂正します 知識(3)のかける順番ですが、 ab 0c 00 0d をこの順にかけると 0k 00 と訂正します。
- hourainoas
- ベストアンサー率33% (3/9)
定石じゃなくてアドバイスだけど、 例を作る問題はできるだけ簡単な例を作ったほうが良いので最初は1*1の行列もさっと考える、 今回はだめそうなので2*2の行列を考える。 知識(1) 0a 00 00 a0 （aは任意） という形の行列（n*nでも）は２乗すると0になる 知識(2) 0a aa 0a 00 という形の行列（n+nでも）は２乗するとaがa^2になる 知識(3) 0a cd 0b 00 の行列をかけると 0k 00 という形の行列になる。 (1)(2)(3)を利用して、 たとえば A,Bを 11 01 00 01 とすれば ABは(1)の形になるので２乗して０ AA、BBは(2)の形(a=1)になるので２乗しても同じになる つまりAABB=AB≠0 だが ABAB=0
お礼
回答ありがとうございます。 とてもわかりやすかったです。