行列式の問題

質問

次の問題について解法がわからないのですかどのように解けばよいのでしょうか？

問)
次の行列式を計算せよ。（結果は因数分解すること）

1 a b 2
a b a b
b a b a
2 b a 1

三行三列の形になおして計算したりしてみたのですが解を得ることが出来ず詰まってしまいました。
解る方教えてください。
お願いします。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

|1 a b 2|
|a b a b|
|b a b a|
|2 b a 1|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)
|b a b a|
|2 b a 1|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)
|a+b 0 a+b 0|
|2 b a 1|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)x(a+b)
|1 0 1 0|
|2 b a 1|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)x(a+b)
|1 0 1 0|
|0 b-a+1 a-b-1 0|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 0 1 0|
|0 -1 1 0|

|1 a b 2|
|1 -1 1 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 0 1 0|
|0 -1 1 0|

|1 a b 2|
|0 -1 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 0 1 0|
|0 -1 1 0|

|1 a+b b 2|
|0 -1 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 1 1 0|
|0 0 1 0|

|1 a+b-1 b 2|
|0 -1 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 0 1 0|
|0 0 1 0|

|1 a+b-3 b 2|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)
|1 0 1 0|
|0 0 1 0|

|1 1 b 2|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
|1 0 1 0|
|0 0 1 0|

|1 1 0 2|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
|1 0 1 0|
|0 0 1 0|

|1 1 0 2|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
|1 0 0 0|
|0 0 1 0|

|1 1 0 0|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
|1 0 0 0|
|0 0 1 0|

|0 1 0 0|
|0 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
|1 0 0 0|
|0 0 1 0|

| 1 0 0|
| 0 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
| 0 1 0|

| 0 -1|x(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)
| 1 0|

(a-b)x(a+b)x(a-b-1)x(a+b-3)

お礼

ご回答ありがとうございます。
途中式まで細かくかいてくださったのでとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

HOGERA3

No.2です。
ごめんなさい。最初の式のイコールの後の
第1項が間違ってました。

（誤）
　　|a b 2|
１ｘ|b a b|
　　|b a 1|

（正）
　　|b a b|
１ｘ|a b a|
　　|b a 1|

お礼

わざわざ訂正ありがとうございました。
どうやら私は展開方法を間違ってしまったようです。
回答頂いた方法でもう一度解いてみたいとおもいます。
ありがとうございました。

回答No.2

HOGERA3

余因子展開を使いましょう。

　|1 a b 2|
　|a b a b|
　|b a b a|
　|2 b a 1|

　　　|a b 2|　　　|a a b|　　　|a b b|　　　|a b a|
＝１ｘ|b a b|－ａｘ|b b a|＋ｂｘ|b a a|－２ｘ|b a b|
　　　|b a 1|　　　|2 a 1|　　　|2 b 1|　　　|2 b a|

という感じで行列の次数を下げれば簡単。
上の第1項はさらに以下のようにできます。

|a b 2|＝ａｘ|a b|－ｂｘ|b b|＋２ｘ|b a|
|b a b|　　　|a 1|　　　|b 1|　　　|b a|
|b a 1|

他の項も同様。

参考URL：

http://www5d.biglobe.ne.jp/~n-akira/answer/2003/06/20030624-3.html