解析に関する問題です

質問

ｆ（ｘ）＝ａ＋Ｏ（ｘ＾α）、ａｓ　ｘ→０（ａは０でない、α＞１）のとき、
ｆ（ｘ）＾１／ｋ　（ｋ∈Ｎ）に最良の評価を与えよ。
という問題です。普通に１／ｋしたらわけがわからなくなりました。解法を教えてください。

回答No.2

hismix · ベストアンサー

別に評価するだけならテーラー展開しなくてもいいのですが
あえて多項式で評価したいという場合には
g(x)=（a-Mx^ａ）＾1/kとおくと
g(x)=g(0)+g'(0)x/1!+g"(0)x^2/2!+・・・
という風にテーラー展開することにより多項式近似が得られます
g(0)とかg'(0)とかは実際に微分したりして0を代入すれば
求められます。
たとえばg(0)=a^1/kという風になります。

回答No.1

hismix

ｆ（ｘ）＝ａ＋Ｏ（ｘ＾α）　ａｓ　ｘ→０
という仮定より
十分小のｘに対してあるＭが存在して
Ｍ≧｜f(x)-a｜/|x|^α
x>0として考えれば、

a+Ｍx^α≧f(x)≧a-Ｍx^α

あとはこれを1/k乗して
必要ならばTaylor展開してみれば評価が得られます

ちなみにこの評価はｘの十分小さいところでのみ成り立っています
またその範囲でＭはｘによらない定数です

補足

返事遅くなってすいません。１／ｋしたあと、（a-Mx^ａ）＾1/kでどうやって
テーラー展開するんですか？？