無理数に関するこの命題は証明されているでしょうか？

質問

無理数に関して，以下の２つの命題は証明されているでしょうか？
ご存じの方，教えて下さい．記述を正確にするために，定義から書きます．

定義(1): 十進法で表示した無限数列において，十進法の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 のすべてが現れる無限数列を「全域無限数列」と仮に呼ぶことにします．■

定義(2): 全域無限数列でない無限数列を「非全域無限数列」と仮に呼ぶことにします．■

無理数を無限数列と考えることにして，次の命題は真でしょうか？

命題(A): 無理数は，すべて全域無限数列である．■

命題(B): 非全域無限数列となる無理数が存在する．■

命題(A)は正しそうな気がします．しかし，命題(B)は偽（正しくない）のような気がするのですが，命題(A)，命題(B)に相当する定理はあるのでしょうか？
お分かりの方，教えて下さい．

回答No.1

gururinbus · ベストアンサー

「有理数は有限小数または循環小数のいずれか」となるので、対偶をとると「有限小数でも循環小数でもないものは無理数」となります。
0.1001100011100001111…という小数は有限小数でも循環小数でもないので無理数となると思われます。したがって、命題(B)は正しいような気がします。

お礼

ご回答有り難う御座いました．数学的に論理の通った記述で感心します．
その通りです．したがって，命題(A)は偽でしょう．
無理数に関して，もう一つ気になる事柄がありますので，また投稿しようと考えています．また，教えて下さい．ありがとうございました．

回答No.6

noname#47975

#4です。
申し訳ありません、私の見間違いですね．．。
0.123456789....ではなく、
0.12345678901234567899...なのですね．．。
本当に申し訳ありません。m(__)m

お礼

ご熱心に，本当に，ありがとうございました．

回答No.5

noname#47975

0.123456789....
=0.123456789+(0.00000000099.....)
=0.123456789+10^(-10)×(0.99999.......)
0.999......の部分が循環小数なので有理数。

お礼

たびたび，ありがとうございます．よく考えて見ます．

補足

syouji_08(ANo.5)さんへ．書く場所がないので，ここに書きました．
あなたの

>0.123456789....
>=0.123456789+(0.00000000099.....)
>=0.123456789+10^(-10)×(0.99999.......)
>0.999......の部分が循環小数なので有理数。

は 12345678 がただの１回しか出て来ませんが，そうではなく，
12345678 が繰り返し無限に出てきます．そういう意味で ANo.4 にこの数を
タテに書き並べたのです．このタテに書き並べた数は，すべてつながっている１つの数です．したがって，循環しません．説明が足りませんでした．

回答No.4

noname#47975

0.123456789012345678990123456789990123456789999 ．．．．．
は循環しないように見えて実は有理数です。
0.12345678901234567899012345678999012345678+
0.000000000000000000000000000000000000000009999 ．．．．．
ですが、
0.123..は有理数であり、
0.00...9の部分が循環小数となるので、有理数となります。
よって、有理数＋有理数＝有理数なので、
以上により、無理数にならない事に注意して下さい。
無理数になる場合は、途中からも決して循環しないわけです。

お礼

ご回答ありがとうございます．この数は，タテに書き並べると
0.123456789
01234567899
012345678999
0123456789999
01234567899999
012345678999999
0123456789999999
01234567899999999
012345678999999999
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

のように無限に続きますので，循環しないと思いますが，．．．

回答No.3

ojisan7

「全域無限数列」って、質問者さんが、勝手にお創りになった用語のようですね。正解は、命題（B)ですが、正直言って、つまらないので、とても「定理」と呼べるようなものではありませんね。

お礼

ご回答ありがとうございます．つまらない投稿だったようですね？？？
頭の良い方々が沢山おいでになるので，助かります．
これからも，よろしく，おねがいします．

回答No.2

banakona

命題(B)って命題(A)の否定じゃありませんか？　ならば、どちらかが真で他方が偽となります。

さて、本題ですが、「無理数」って勝手に作っていいんですよね。
たとえば、３と５のみを使って、
　３,３５３５５３５５５３５５５６３５５５５５３・・・・
という数字を作ってもいい筈です。この数は決して循環しないので無理数です。
という訳で、命題(B)が真。

お礼

早速のご回答有り難う御座いました．参考になりました．
それでは，私も勝手に無理数を作ってみます．
0.123456789012345678990123456789990123456789999 ．．．．．
のように 9 を増やしてゆけば決して循環しないので全域無限数列となる
無理数が存在します．したがって，新しく，命題(C)を作って

命題(C): 全域無限数列となる無理数が存在する．

も真となることが分かりました．いい勉強になりました．
ありがとうございました．