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三角関数の微積分の根源とも言える lim[x→0] (sinx)/x = 1 は、実は証明されていない？
１０年以上前に、友人から聞いた話を、ふと思い出したのですが、 三角関数の微積分の根源とも言える極限値 lim[x→0] (sinx)/x = 1 は、実は証明されていない！ ということを聞きました。 これを聞いたときは、びっくりしました。 そのとき友人が見せてくれた文献が、月刊誌「大学の数学」だったか、それとも他の書籍だったか忘れましたが・・・・・、 たしか、その本に載っていた図では、上述の式の命題１個と、その親戚関係にある数個の命題があり、たしか、合計４～６個の命題がありました。 そして、全ての命題は、証明されていないという話でした。 それらの命題は互いに、円環状のループで結ばれていて、どれか一つだけが証明されさいすれば、残る３～５個も全て、連鎖的にに正しい定理として証明できるらしいのです。 現時点では、どうなんでしょうか。 証明されたのでしょうか？ また、私が曖昧にしか記憶してない上記の件について、全貌を説明しているＷｅｂサイト若しくは文献等ありましたら、ご紹介くださいませ。 何しろ、だいぶ前のことなので、上記のどこか、若しくは全部間違いてるかもしれませんが・・・ ぜひ識者の方々から教えていただきたいと思います。 よろしくお願いいたします。
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- kabaokaba
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とことん厳密にいけば， 証明に「長さ」を使った段階でアウトです． そもそも「長さ」とか「面積」を どうやって定義するの？という問題がありますので． この手の問題のスタンダードな方法は， 実数の存在とその演算の性質を認めて さらに「連続性の公理」のうち， どれかを認めることからスタートすることで 大抵の大学の初年度の解析の教科書は この立場ですよね それで，その「雑誌の記事」ですが 「実数の連続性の公理」と 「三角関数の極限」が同値だというような内容 なんではないかと想像します． もし記事の内容がそうだと仮定して さらにその記事の内容が正しいのであれば 公理なんですから そういう意味では証明はされてないですね 「連続性の公理」はとにかくいろいろな表現があるので その一つに「三角関数の極限」があっても いいような気がしますが もっとも，関数の一種である三角関数だけの命題から 一般的な命題である「連続性の公理」が どうでてくるのかとか， そもそも三角関数の定義として 何を採用するのかという興味はありますね ＃三角関数の定義としては ＃級数で定義するとか， ＃微分方程式の解で定義するというのもあります．
- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
これは、この掲示板でも何度も話題に上っている問題ですね。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1912765 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355 とか。多分、ほかにもあると思う。 円周＜外接角形 の関係は、曲線の長さを折れ線の長さの上限で定義して、折れ線と外接多角形の間の関係を詳細に見ていけば、初等幾何の範囲でも証明できるんだろう、と思ってはいますが、実際にはちゃんとやってないのでわかりません。
お礼
＞＞これは、この掲示板でも何度も話題に上っている問題ですね。 なるほど、sin の中の x に、かっこを付ければよかったんですね。 ありがとうございました。
- graphaffine
- ベストアンサー率23% (55/232)
>lim[x→0] (sinx)/x = 1は、実は証明されていない！ 高校レベルではその通りです。証明されていないと言うよりも、証明できない、と言うほうが正しいのですが。 大学レベルでは、当然、きちんと証明されます。 そのためには、三角関数の定義を高校までの直感的なものから、理論的に厳密なもの（流儀はいろいろあると思いますが、冪級数による定義が主流と思われる）に置き換える必要があります。 下記参考ページは、つい最近の某数学掲示板の内容です。たまたまとは思いますが、同じような話題が、ほぼ同時に複数のサイトで問題になるのは面白い現象ですね。
お礼
＞＞＞同じような話題が、ほぼ同時に複数のサイトで問題になるのは面白い現象ですね。 ははは ほんとだ。 こんな掲示板があったんですね。 かつて「私が聞いた」というのは、高校レベルの話という意味じゃないんですけどね・・・・・ まさか、ここ１０年で解決されたとすれば、数学年表に載りそうですよね。 「冪級数」は、漢字の読み方さえ知らないので、これから勉強します。 ありがとうございました。
- hinarikako
- ベストアンサー率0% (0/6)
この証明はされています。最もわかりやすい証明は 挟みうちの原理を使います。詳細は斉藤正彦先生の 放送大学の印刷教材’微積分入門I'９８年版に記述 されています。この本は放送大学学習センターにあります。
お礼
早速、ありがとうございます。 http://www-ise2.ist.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/misc/lopital.html ↑ ここに、 cos x < (sin x)/x < 1 で挟み撃ちするのが書いてますが、これのことですか？
お礼
ありがとうございます！ なるほど。長さ、面積ですか。 見せられた本に書いてたのが 『「実数の連続性の公理」と「三角関数の極限」が同値だというような内容なんではないかと想像します．』 とか「公理」とかいうことを含んでいたかどうか、残念ながら全く覚えてないです。 その場合、数個の命題のループになるんですかね・・・