三角関数の導関数

質問

sin'=lim((sin(x+h)-sin(x))/h)
=lim((2*cos(x+h/2)sin(h/2))/h)
=lim(cos(x+h/2)*2*(sin(h/2)/h))
=lim(cos(x+h/2)*(sin(h/2)/(h/2)))
=cosx

という、sinの導関数の求め方があります。
(手元に、数学IIIの検定教科書が3冊ありますが、どれを見てもこの方法で証明していました。)

ところで、この

sin'=lim((sin(x+h)-sin(x))/h)
=lim((2*cos(x+h/2)sin(h/2))/h)
の部分が全く理解できません。
4時間ほどこの式変形をしようと苦闘しましたが、できませんでした。

多少遠回りをして、
(sinx)'=lim(sinx(cosh-1)/h+cosxsinh/h)=cosx
なら、わりとすぐに証明できたのですが、(30分くらい?)
上記の方法は式変形の方法すら思いつきませんし、そのための手がかりも全く思いつきません。

高校生が皆理解できるということは、さぞカンタンな変形なのだろうと思いますが…どうやれば、このような式変形ができるのでしょうか?
詳しくご教授願います。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

三角関数の章で和積公式というものを学習します。積和公式は三角関数の加法定理から簡単に導けます。

sinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
sinα-sinβ=2cos{(α+β)/2}sin{(α-β)/2}
cosα+cosβ=2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
cosα-cosβ=-2sin{(α+β)/2}sin{(α-β)/2}

お礼

おお!　確かにそんなものがありましたね!
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/wa-seki-no-kousiki.html#1
半角、倍角、合成関数など、三角関数がらみの公式は(覚えるのが面倒くさいので)全て加法定理からその場でなんとなく作っていたのですが、
この公式だけは作り方をちゃんと覚えておいた方がよさそうですね

ありがとうございます。疑問が氷解しました。