ロピタルを使う問題

質問

{L(4n)-L(2n)}/{L(2n)-L(n)}が1/4に収束することの証明。
L(n)=nsin(π/n)を用いること。

1/2cos(π/4n){1+cos(π/4n)}
となるまでは解けたのですが
lim[x→0](sinx/x)=1を使わないといけないらしく、これを使うまでの過程が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

L(2n)-L(n)
=2nsin(π/(2n))-nsin(π/n)
=2nsin(π/(2n))-2nsin(π/(2n))cos(π/(2n))
=2nsin(π/(2n))(1-cos(π/(2n))
=2nsin(π/(2n))2sin^2(π/n)
=4nsin(π/(2n))sin^2(π/n)

nを2nと置き換え

L(4n)-L(2n)
=8nsin(π/(4n))sin^2(π/(2n))

よって，n→∞のとき，

{L(4n)-L(2n)}/{L(2n)-L(n)}
={8nsin(π/(4n))sin^2(π/(2n))}/{4nsin(π/(2n))sin^2(π/n)}
={2sin(π/(4n))sin(π/(2n))}/sin^2(π/n)
=2[{sin(π/(4n))sin(π/(2n))}/{(π/(4n))(π/(2n))}]・[{(π/(4n))(π/(2n))}/sin^2(π/n)]
=2(1/4)(1/2)[{sin(π/(4n))sin(π/(2n))}/{(π/(4n))(π/(2n))}]・[{(π/n)(π/n)}/sin^2(π/n)]
=(1/4){sin(π/(4n))/(π/(4n))}{sin(π/(2n))/(π/(2n)){(π/n)/sin(π/n)}^2
→(1/4)・1・1・1^2=1/4

となります．

お礼

分かりやすい解答、ありがとうございます。