教科書の(sinx)'の証明の方針がわからない

質問

教科書では以下のようにしていますが、２点、分からないところ（Q1,Q２）があります。
(sinx)'
=lim[h→0]{sin(x+h)-sinx}/h
=lim[h→0]{cosxsinh-sinx(1-cosh)}/h　　　←Q１
=cosxlim[h→0](sinh)/h - sinx・lim[h→0](1- cosh)/h　　←Q2
ここでlim[h→0](1- cosh)=（省略）=0なので、
(sinx)'＝(cosx)・1- (sinx)・0=cosx

Q1:私はsin(x+h)-sinx　を扱いやすいよう和→積の公式で変形したらうまくいったのですが、この教科書の証明ではどういう方針でsin(x+h)をばらしたのですか？ばらしたらたまたまうまくいったのでしょうか？

Q2:lim[h→0]{cosxsinh-sinx(1-cosh)}/h　　
=cosxlim[h→0](sinh)/h - sinx・lim[h→0](1- cosh)/h
とありますが、(sinh)/hと(1- cosh)/hがともに極限値をもつことを初めに言っとかないと、こう
いうふうにlimを分割したらだめなんじゃないですか？

教えてください！

回答No.1

bad-boys · ベストアンサー

Q1、Q2ともに素晴らしい質問だと思います。
特にQ1でご自分で別の証明をして確認したのは数学に対する正しい姿勢だと思います。

まず、
Q1に関しては、
「どういう方針で」とありますが、「そうしたらうまくいくから」としか言いようがありません。
それを数学の先生はしばしば「天下り(あまくだり)」と呼びます(授業中に聞いたことはありませんか？)
詳しく言えば、
過去にsinxの微分を求めようとした人が上手い方法(楽な方法、美しい方法)をひらめいた。
それ以降は皆その手法を使わせていただいている、ということです。

Q2に関しては、あなたのご指摘通りです。
Q1同様これも暗黙のルールですが、
教科書では、それより前のページで証明した定理や定義は無条件に使っていいことになっています。
それゆえ、授業中ではあなたの指摘した点を先生が解説してくれる（はず）と思います。

お礼

ありがとうございました。